【算数】見たことのあるものを活用せよ。あなたは何問目で気づきますか？
【問題】分からないときは次の問題を見よ。
【第１問】材料は１と２しか使いません
1と2をいくつか足し合わせるだけで10を作る式は何通りありますか。ただし、どちらも少なくとも1つは使い、1+2と2+1のように順番が違うものは別の式として数えるものとします。
【第２問】ジェンガはスワヒリ語
Aを１辺が１cmの立方体のブロック、Bを縦が１cm、横が１cm、高さが２cmの直方体のブロックとします。A、Bは十分たくさんあるとして、これらを積み上げて縦が１cm、横が１cmの色々な高さの塔を作る方法を考えます。例えば、高さ１cmの塔は１通り、高さ２cmの塔は２通り、高さ３cmの塔は３通りとなります。
(3)高さ10cmの塔を作る方法は何通りですか。
【第３問】最も膝を痛める上り方は？
７段の階段を上ります。１段ずつ上る上り方と、１段とばして上る上り方を組み合わせると、何通りの上り方がありますか。ただし、どちらか一方だけの上り方も数えます。
【第４問】これが解けなきゃ小１です。
1辺の長さが1cmの正方形があります。次の操作にしたがって、長方形をつくることにします。
操作①：はじめの正方形の右側の辺に、1辺の長さが1cmの正方形を並べる。
操作②：操作①でできた長方形の下側の辺に、1辺の長さが2cmの正方形を並べる。
操作③：操作②でできた長方形の左側の辺に、1辺の長さが3cmの正方形を並べる。
操作④：操作③でできた長方形の上側の辺に、1辺の長さが5cmの正方形を並べる。
操作⑤：操作④でできた長方形の右側の辺に、1辺の長さが8cmの正方形を並べる。
…
以下、規則性にしたがい操作⑥、操作⑦、…を順に行います。
(1)操作⑩で並べる正方形の1辺の長さを求めなさい。
【解答】気づくためには理解せよ。
何問目で規則性に気づきましたか？規則性は大変に重要で、別の分野の問題でも、自分で規則性を見つけて解けてしまえることがよくあります。ほとんどの入試問題には規則性を利用するのだと分かる仕掛けがあるのですが、本当は「自分で規則性を探り始める」発想も持っていてほしいものです。
今回はいわゆる「フィボナッチ数列」の規則でした。1つ前の数と2つ前の数の和が次の数となります。第３問の「階段の上り方」でよく例えられます。
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…と続きますので、
第４問の答えは89cm
第３問の答えは21通り
第２問の答えは89通り
第１問の答えは87通り(1のみの和、2のみの和の2通りを引く)
第４問のみ「図形」に利用されており、視覚的に理解しやすい上手な設定ですね。第１〜３問は「場合の数」ですが、全く同じ問題であることを理解し、気付けることが大切です。
【解説】とにかくここだけは理解して。
ところでなぜ階段の上り方はフィボナッチ的な規則性があるのでしょうか？この説明として、第２問の(1)を紹介します。設定を思い出してください。
(1)高さ４cmの塔を作るとき、Aが１番下にあるのは【ア】通りあり、Bが一番下にあるのは【イ】通りあります。よって高さ４cmの塔を作る方法は【ウ】通りあります。ア、イ、ウにあてはまる数を答えなさい。
つまり、一番下に１cmを置くと、残り３cmの作り方は既知の３通りあり、一番下に２cmを置くと、残り２cmの作り方は既知の２通りなので、3+2＝5通りと言っています。入試本番で、とても親切かつシンプルな誘導！
【発展問題】サはさすがのサ
基本がつかめた方は、次の問題にもチャレンジしてみてください。これも栄東。
多くの問題では、「フィボナッチ数列であることを見抜かせ、せいぜい10番目くらいを答えさせる」のが普通ですが、こちらの問題では最初から数列が与えられている上、なんと2023番目まで聞いてきます。作問の幅広さに感服です。
2023年11月11日
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