整数 $${n}$$ が 2 より大きい場合、方程式 $${x^n + y^n = z^n}$$を満たす自然数のゼロ以外の解はありません。

https://old.elementy.ru/trefil/21135/Velikaya_teorema_Ferma

ピタゴラスの定理を覚えているでしょう: 直角三角形の斜辺の 2 乗は、脚の 2 乗の和に等しい. また、辺の長さが 3 : 4 : 5 の関係にある古典的な直角三角形がこれを満たすことを覚えているかもしれません。
$${3^2 + 4^2 = 5^2}$$
これは、 $${n = 2}$$で、ゼロ以外の整数解の例です 。フェルマーの最終定理とも呼ばれるのは、$${n > 2}$$ の形式の方程式$${ x ^n+ y^n = z ^n}$$ は、自然数のゼロ以外の解を持ちません。

フェルマーの最終定理の歴史は、数学者でなくても、非常に面白くて有益です。ピエール ・ド・ フェルマーは数学のさまざまな分野の発展に貢献しましたが、彼の科学的遺産の主要部分は死後に出版されました。実際のところ、フェルマーにとって数学は趣味のようなものであり、専門的な職業ではありませんでした。彼は当時の主要な数学者と連絡を取り合っていましたが、彼の研究を出版しようとはしませんでした。フェルマーの科学的著作は、主に個人的な書簡や断片的なメモの形で見られ、多くの場合、さまざまな本の余白に書かれています。それは数学者の死後まもなく(ディオファントス著の古代ギリシャ語「算術」の第 2 巻の余白にありました。

wikiより引用************************************************************
17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー（1607年 - 1665年）は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した（たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである）。
注）フェルマーの小定理
$${p}$$ を素数とし、 $${ a}$$ を整数とすると、
$${a^p=a 　(mod  {p})}$$    あるいは　$${a}$$で割れば
$${a^{p-1}=1　(mod {p})}$$　すなわち，$${a}$$の$${p-1}$$乗を$${p}$$で割った余りは１であるという定理である。

48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである。

第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せの欄外余白に、フェルマーは
立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪（べき）が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。
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悲しいかな、どうやらフェルマーは自分が見つけた「奇跡の証拠」を書き留めようとはしなかったようで、子孫は 3 世紀以上にわたってそれを探すことに失敗していました。多くの驚くべき声明を含む、フェルマーのさまざまな科学的遺産の中で、頑固に解決に抵抗したのはこの大定理でした。

フェルマーの最終定理の証明に着手しなかった者は誰であれ、すべて無駄だった! もう一人の偉大なフランスの数学者、ルネ・デカルト (1596–1650) はフェルマーを「ほら吹き」と呼び、イギリスの数学者ジョン・ウォリス (ジョン・ウォリス、1616–1703) はフェルマーを「いまいましいフランス人」と呼んだ。 しかし、フェルマー自身は、 $${n = 4 . n > 4}$$の場合の定理の証明を残し 、失われた証明の鍵を見つけるためにフェルマーの家を探すことを冗談めかして申し出ました。19 世紀には、数論の新しい方法により、200 以内の多くの整数についてこの命題を証明することが可能になりましたが、すべての整数について証明することはできませんでした。

1908 年、この仕事に対して 100,000 DM の賞金が設定されました。賞金はドイツの実業家パウル ・ヴォルフスケールに遺贈されました。彼は言い伝えによると自殺寸前でしたが、フェルマーの最終定理に夢中になり、死ぬことを考え直しました。機械の追加、そしてコンピューターの出現により、 $${n}$$値のバーはどんどん高くなり始め、第二次世界大戦の開始ま​​でには 617、1954 年には 4001、1976 年には 125,000 になりました。20 世紀の終わりに、ロス アラモス (米国ニュー メキシコ州) の軍事研究所の最も強力なコンピューターは、バックグラウンドでフェルマー問題を解決するようにプログラムされていました (パーソナル コンピューターのスクリーン セーバー モードに似ています)。したがって、 $${x,y,z}$$の非常に大きな値に対して定理が正しいことを示すことができましたが、これは厳密な証明にはなりません。

最後に、1994 年に英国の数学者アンドリュー ジョン ワイルズ （1953 年生まれ) は、プリンストン大学で働いていたときに、フェルマーの最終定理の証明を発表しました。証明は雑誌の 100 ページ以上を要し、フェルマーの時代には開発されていなかった現代の高等数学の装置の使用に基づいていました。では、フェルマーが証拠を発見したというメッセージを本の余白に残したのはどういう意味だったのでしょうか? 数学者のほとんどは、何世紀にもわたってフェルマーの最終定理の誤った証明がたくさんあり、フェルマー自身も同様の証明を見つけたのではないかと思う。ただし、フェルマーが本当に何か見つけたのかもしれない。フェルマーの最終定理には、まだ誰も発見していない簡潔でエレガントな証明がいくつかあるかもしれない。確実に言えることは 1 つだけです。今日、定理が正しいことは確かです。ほとんどの数学者は、アンドリュー・ワイルズの証明に「ついに私の心は平和になった」と述べたことに無条件に同意すると思います。