【問題】
$${a_{1}=1, (n^2+1){a_{n-1}}^2=(n-1)^2{a_{n}}^2 }$$
を満たす数列$${a_{n}}$$に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

$${\dfrac{1}{{a_1}^2}+\dfrac{1}{{a_2}^2}+\cdots +\dfrac{1}{{a_n}^2}\le 1+\sqrt{1-\dfrac{1}{{a_n}^2}}}$$

【方針】
与えられた漸化式からは、$${a_n}$$の一般項を求めることは難しそうですが、目的はあくまでも$${a_n}$$に関する不等式の証明。そこで、気を取り直して与えられた不等式の左辺を計算することを考えます。和の計算の基本である畳み込みを使うべく、与えられた漸化式を用いると‥

【解答】
$${b_n = \frac{1}{a_n^2}}$$とおくと，$${b_1=1, b_n(n^2+1) = b_{n-1}(n-1)^2}$$であり，示すべき不等式は．$${\sum b_i \leq 1 + \sqrt{1-b_n}}$$となる．ここで$${b_n = (n-1)^2b_{n-1} - n^2b_n}$$より，
$${\sum b_i=b_1+(1^2b_1-2^2b_2)+(2^2b_2-3^2b_3)+\cdots +((n-1)^2b_{n-1}-n^2b_n)\\=2-n^2b_n}$$
よって，$${1-n^2b_n\leq \sqrt{1-b_n}}$$を示せばよい。

【解答続き】
ここで，$${b_n}$$については$${b_1=1, b_n=\dfrac{(n-1)^2}{(n^2+1)}b_{n-1}}$$より帰納的に$${ 0 < b_n \leqq 1}$$が言える．これより
$${1-n^2b_n \leqq 1-b_n \leqq \sqrt{1-b_n}}$$が成り立つので，与えられた不等式が成り立つ。

【コメント】
　そのまま打てるのお手軽でいいですね。
出典：CNMO2014