以前、スミス数について書きました。また、先日はハーシャッド数も紹介しました。

数字を見つめてみると、色々な性質があります。そこで今回は、ズッカーマン数を紹介します。

ズッカーマン数とは、

各桁をかけざんした数が元の数を割り切る数

です。言葉だけではわかりづらいので、具体例を挙げます。

315の各桁の数字をかけざんすると、3×1×5=15。

15は315を割り切ります。

315=15×21=3×3×5×7

と素因数分解できるからです。

よって、315はズッカーマン数となります。

100以下のズッカーマン数は以下の通りです。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 24, 36

ハーシャッド数に比べると数は少ないですが、こちらも無限に存在します。

例えば、1はズッカーマン数ですが、11, 111, 1111, 11111, ...もすべてハーシャッド数です。

各桁の数字のかけざんはすべて1で、すべての数は当然、1を割り切るからです。



ちなみに、Wikipediaにも書かれていましたが、

1桁の数を除き、4つ連続した自然数がすべてズッカーマン数になることはありません。

どうしてなのかをざっくりと説明していきます。

ここからは少し退屈な内容かもしれません。わからなければ読み飛ばしてください。

まず、0が含まれる数はズッカーマン数にはなりません。各桁をかけざんすると0になってしまうからです。

20
102
500

などはズッカーマン数になりません(0ではわり算できないことに注意！)。

また、十の位の数が偶数か奇数かで分けて考えてみます。

〈十の位が偶数のとき〉

一の位が奇数だと、ズッカーマン数にはなりません。例えば、下二桁が以下のような5つの数を見てみると、

21
23
25
27
29

各桁のかけざんは必ず偶数になります。

(偶数が一つでも含まれていれば、かけざんすると必ず偶数になりますね)

しかし、元の数は奇数なので、割り切ることはありません(偶数は奇数を割り切らない)。よって、これらの数はズッカーマン数ではありません。

〈十の位が奇数のとき〉

一の位が4の倍数だと、ズッカーマン数にはなりません。例えば、下二桁が以下のような数を見てみると、

14
18
34
38

各桁のかけざんは必ず4の倍数になります。

(4の倍数が一つでも含まれていれば、かけざんすると必ず4の倍数になります)

しかし、元の数は4では割り切れません。

下二桁が4の倍数 ⇔ 元の数が4の倍数

という4の倍数判定があるからです。よって、これらの数はズッカーマン数ではありません。

以上の議論から、絶対にズッカーマン数にはならない下二桁を列挙すると以下のようになります。

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 14, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 34, 38, 40, 41, 43, 45, 47, 49, 50, 54, 58, 60, 61, 63, 65, 67, 69, 70, 74, 78, 80, 81, 83, 85, 87, 89, 90, 94, 98

4つ以上連続で書かれていない数字はないことがわかります。

以上の議論から、もう一度結論を書くと、

1桁の数を除き、4つ連続した自然数がすべてズッカーマン数になることはありません。

尚、3連続でズッカーマン数になる数は無数に存在します。

例えば、

1111
1112
1113

は3連続でズッカーマン数です。
(各桁のかけざんは、それぞれ1, 2, 3になっているから)

また、

1111111
1111112
1111113

も同様に3連続でズッカーマン数です。1を3個ずつ増やしていけば、3連続のズッカーマン数になっていくのです。



長くなってしまいましたが、いかがでしたか？

数によっては、ズッカーマン数かどうかを簡単に確認することができるので、気が向いたらぜひ確かめてみてください！

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。