ええいオリュンポス来たのになにこんなめんどくさい記事書いてるの僕。馬鹿なの？　死ぬの？　と昨日の自分に罵倒を吐いてるすたりむですよこんばんわ。ちなみに今日一日論文であーでもないこーでもないと計算してたら脳が死ぬかと思った。あちらを立てればこちらが立たぬ。立たぬのだ……

てわけでこれの続きです。

まず、フェルマーの小定理を適用しましょうね。ｐを２と５以外の素数として、１０＾｛ｐ－１｝をｐで割った余りは１になります。

言い方を変えると、９９９９９９９……９（ｐ－１桁）はｐで割り切れるのです。はい。ということは、とりあえず９９９９９９９……９という形の数（これ、名前ないと不自由なんで「９連数」という名前を仮につけときますね）で、ｐで割り切れる数は存在し、その中で最小桁のものはｐ－１の約数だということになります。

例を挙げると、まず３は、そして３だけが、「９」を割り切りますね。「１１」だけが、「９９」を最小の割り切れる９連数として持ちますが、はい、２桁、つまり「１１－１」の約数桁ですね。「９９９」を割り切れる最小の９連数として持っているのは３７のみ。はい「３７－１」、つまり３６の約数に「３」がありますね。そして前回話題にした１０１は、「９９９９」を割り切れる最小の９連数として持つ唯一の素数。「１０１－１」、つまり１００の約数に４がちゃんとありますね。

問題は７。これが割り切れる最小の９連数は「９９９９９９」です。つまり６桁＝「７－１」桁。こういうこともわりとあります。他の例としては、１７が割り切れる最小の９連数は「９９９９９９９９９９９９９９９９」、はい１６桁っす。頭にきますね。ちなみに１７は循環小数の循環部が１０を越える最小の素数っすよ。

え、なんで循環小数かって？

いやね、桁数Ａの９連数「９９９９９９９……９」が、ｐ×Ｘだったとしましょう。このとき、「０．{０００……Ｘ}」という形の循環小数（{}内が循環部。ただし、０の数は０００……ＸがちょうどＡ桁になるように詰める）にＰを掛けたら、「０．９９９９９９９９……＝１」になりません？　じゃああれが１／ｐの循環小数なんじゃないです？

はい具体例。１／３は０．{３}。上で述べた通りっすね。１／１１は０．{０９}。二桁っすね。１／３７は０．{０２７}。三桁っすね。１／１０１は０．{００９９}。四桁っすね。１／７は０．{１４２８５７}。六桁っす。

このように。素数にとって「割り切れる最小９連数の桁数」と「循環小数の循環部」は一致するのです。だからこんなタイトルつけたんですね。

え、じゃあなんで「素数」ってくくりが必要かって？

……

１／６＝０．１{６}だけど、６の倍数になる９連数なんてないよね？　つまりはそういうこと。

さて。

この話、たぶん続きます。上の形で例として「循環小数の循環部桁数」と「割り切れる９連数の最小桁数」が一致している素数をいくつか挙げた。しかしそれが一般に成り立つかどうかは、実は上の議論だけじゃわかってない。本当にそうなん？　というところで……

次回に続く。たぶん。