ここしばらく、なーんとなく頭が働かないときに適当に駄文を書いて頭をリセットするのにnote使ってるすたりむですよこんにちわ。自由って、いいよね。

それはさておき、なんか今日いじくるネタないかなーと思ってたら来年のことが気になったんですよね。２０２１年。２０２１＝２０２５－４＝（４５＾２－２＾２）というわりとわかりやすくて素敵な年。いいなあ。それに引き換え２０２０はなんかキモいんだよねー。似たような計算するなら２＾２×（５３＾２－４８＾２）だけど、なんか美しくない。キモい。

と考えてたところで、そういやこれ１０１の倍数だな、と気づいたわけですよ。１０１。これはこれで素敵な数です。素数だから？　いやいや素数というのは僕が美しさを感じるにはぜんぜん足りないものですよ。なんか世の中素数大好き人間いるけどそれは僕じゃない。そうじゃなくて、

これ、逆数を小数展開すると４桁ちょうどで循環する唯一の素数なんすよ。

いやー思いもよらないところに発見がありましたね、めでたしめでたし。というわけで筆を置きます。とやろうとしたらなんか殴られそうなんで……以下は駄文として、「なんでそうなるの？」を一応、僕なりに丁寧に解説していこうかなと思うんですよね。

ただ「なんでそうなるの？」をガチで突き詰めると、実はけっこう大変だという。たとえば、「逆数を小数展開すると４桁ちょうどで循環する唯一の「自然数」」というところまでは言えない……言えないんじゃないかな……たぶん言えないと思う……うん、たぶん。というか、ちょっといま１／２０２展開してみようか。

０．０{０４９５}

{}の中身が循環部分ね。やっぱ４桁で循環してるな！　というわけで、「素数」じゃないと無理無理。上のこと言えませーん。という結論になった。

ていうか、僕も「直観的には」上の主張が正しいのはわかるんだけど、数論の研究者でもないし、ちゃんと自力で証明したのって実は最近なんだよね……

さて、まあ中学受験知識として、みなさんこういうのを知ってますかね。「３の倍数は、一桁ごとに区切って足し合わせるとやっぱり３の倍数になる」という法則を。例？　１９６８３は、１＋９＋６＋８＋３＝２７で３の倍数なんで、やっぱり３の倍数。とか。まあこれ３＾９なんだけどな。

これ、実は僕、知識としては教えてもらったんだけど理由を教えてもらえなかったので、中学受験のときはあんまりうまく活用できなかった。後で自分で整理してみたら、要するにこれ「１０÷３の余りが１だから」というだけであることに気がついた。つまり、さっきのであれば、

１９６８３÷３の余り＝（１００００÷３の余り＋９０００÷３の余り＋６００÷３の余り＋８０÷３の余り＋３÷３の余り）÷３の余り

とできるわけで、それぞれ余りのところの評価に上一桁を代入できて、

１９６８３÷３の余り＝（１＋９＋６＋８＋３）÷３の余り

になってはいそれ０ですね終わり、という。もうちょっと言うとこれは割り切れるかどうかの判定じゃなくて、「余りがいくつになるか」にダイレクトに応用可能な素敵な式だったわけだ。なんであの頃日能研の教師はこういうの親切に教えてくれなかったのか、そこがわからぬ。

で、同じことは１１でも言えて、つまり１００÷１１の余りって１だから、「二桁ごとに区切って足し合わせても１１で割った余りは変わらない」。上の数だったら、

１９６８３÷１１の余り＝「１００００÷１１の余り＋９６００÷１１の余り＋８３÷１１の余り」÷１１の余り＝「１＋９６＋８３」÷１１の余り＝４

とすぐ計算できるわけです。わあ便利。

え、これが循環小数となんの関係があるのかって？

だって１／３＝０．{３}だし１／１１＝０．{０９}じゃん。{}内が循環部ね。循環部の桁数と上で分けるときの桁数一致してるじゃん。もっと言うなら１／１３の循環部の桁数は６桁だけど１３は６桁ごとに区切って足してから割っても余り変わらないじゃん。

……と、さも当然みたいに言って煙に巻いたところで、なんか長くなってきたからいったんこの記事切ります。待て次号。