多様体をやるときに出会う専門用語「はめ込み」についてもわかりやすい説明がある。 43ページ

2023年9月7日「ガロア理論の頂を踏む」読了。

ガウス写像についての図がわかりやすい。 5章47ページより。

リーマン多様体やレビチビタ接続についても書いてあったが、 普通の多様体と接続の概念に、 内積をプラスしたものというくらいしか 理解できなかった。 ここらへんは本格的な本で 勉強するのを待つことにしよう。

接続と共変微分は、ニュアンスの違いだけで、同じことなんだ！ 多様体の曲がりぐあいは、 接空間どうしのつながりぐあいを表す接続で表すのか！！ ここにも抽象的に定義するからこその飛躍があるんだなぁ。 この本でイメージ掴めたので 本格的な本も読みたくなってきた。

ブラケットのところはよくわかんなかった かっこ積のことをカッコつけて、ブラケットと呼ぶことだけはわかった。

曲線に対する接ベクトルは、曲線の接線を引くだけだった。 多様体という抽象的な図形に対する接ベクトルは、どうゆう気持ちで定義するかが 13章3節に書いてあった。 以下、初見で思ったこと。 ・関数解析っぽい考え方をするんだ ・「積の微分法則」の構造が定義として 抽出されるのか

多様体は、集合に微分構造をいれるためのものだったのか！！！ この本凄い。今後、多様体を学ぶ展望が開けた。

当たり前な気がする定理

11章、12章では、 当たり前な気がする定理が紹介されていた。 でも、かなり小さい極限的な状況でなりたつ定理だから、しっかり示さないと明らかではないことは理解できる。 ホテリングの定理は、曲線回りのチューブみたいな体積の求め方を与えている。 ワイルの定理は、曲面をサンドイッチしたような部分の体積の求め方を与えている。 これらが当たり前に思えるのはおかしいのかな？ みんなそうかな？ ということは、どっちでも良いとして、 124ページにワイルの定理と ガウス・ボネの定理

曲面上の最短距離を調べるためには？

10章では、タイトルのことを調べるために、 今まで使ってた基底を変換します。 これまで使ってきたムービングフレームと別の正規直交基底をつかえば、うまくいきます。 測地線とかは 物理とかでよく聞くけど、 それ論じるためにより自然な基底を使います。 その基底を、ダルブーフレームと呼びます。 今まで使ってたムービングフレームを フルネフレームと呼びます。 この２つの基底は、曲線の接方向を軸に回転させただけ。 今度、測地線とかやるときは この10章を読んで、 目的によって基底

ガウス曲率の幾何学的な意味について補足

ガウスの定理より、 第一基本量からガウス曲率が求められることがわかった。 ガウス曲率=0 なら可展面という平面のようなもの、もう少し具体的に言うと直線を動かして作られる面らしい。 さらに、ガウス曲率≠0のときは、 下図のような感じの曲面であることが 局所的にではあるが、わかる！ 図を書き足したので、参考になれば嬉しいです。 ざっくり言うと、 ガウス曲率の絶対値が小さいと平面っぽい曲面で、ガウス曲率の絶対値が大きいと曲がり方が急な曲面であるということだと思う。 曲面上

ガウスの定理(驚異の定理)の意味がわかった！

「幾何学は微分しないと〜微分幾何学入門〜」の９章を読んでる。 ガウスの定理について、はじめて腹落ちした。 曲面のガウス曲率は、第一基本量だけで記述できる！ 前のページ、つまり第7章では、 ガウス曲率は第一基本量だけでなくて、第二基本量もつかって記述した。 ガウスの定理によると、 垂直方向のベクトルを入れた第二基本量は、 ガウス曲率を求めるために不要で、 曲面の水平方向のベクトルの情報のみの第一基本量だけで、 ガウス曲率が表せることがわかる。 これでガウス曲率は、曲面