このnoteでは、スムージングの方法の 1 種として、最小二乗法についてお話します。「最小二乗法は、スムージングではなく回帰の手法ではないか？」という方もいらっしゃるでしょうが、ここでは広義のスムージングと捉えて説明していきます。

スムージング（平滑化）の話
１：概論
２：最小二乗法 ← この記事！
３：5 点移動平均法
４：グレヴィルの方法
５：まとめ

最小二乗法のアイディア

まず最小二乗法のアイディアについて、お話していきましょう。
最小二乗法では、真値が従う方程式

が存在すると考えます。そして、この方程式と測定値の2乗和

が最小となるように、パラメータを定めます。
解析的には、

となるようなパラメータを見つけます。

エクセルのソルバー・アドインを用いると、数値的に2乗和 Q の最小値を与えるようなパラメータ a を簡単に見つけることができます。

真値が従う方程式として、最も基本的でよく用いられるのは、直線の方程式

です。今回もこの形で測定値をスムージングすることとしましょう。

スムージング：最小二乗法

ここからは具体的に最小二乗法を実行してみましょう。ここではエクセルのソルバー・アドインを使用し、数値的にパラメータを定めることとします。手順は以下の通りです。

手順：
1.　真値の従う方程式の形を決める
2.　パラメータの初期値を決める。
3.　差の 2 乗和 Q を求める。
4.　ソルバーを用いて、差の 2 乗和 Q を最小にするようなパラメータを見つける。

それぞれの手順について、見ていきましょう。

　▶︎手順 1.　真値の従う方程式の形を決める。

真値の従う方程式は

の形であれば、なんでもよいです。ここでは、直線

の形を採用します。

　▶︎手順 2.　パラメータの初期値を決める。

適当な初期値を定めます。ここでは a, b ともに 1 としました。

　▶︎手順 3.　差の 2 乗和 Q を求める。

写真の丸を付けたところのように計算し、差の 2 乗和 Q を計算します。

　▶︎手順 4.　ソルバーを用いて、差の 2 乗和 Q を最小にするようなパラメータを見つける。

写真のように、ソルバー・アドインを用いて、Q を最小にするようなパラメータ a, b を求めます。

　▶︎スムージングの結果

以上の手順で、以下のような直線が得られました！

次回は、5点移動平均法についてお話します。

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