中学校の宿題です。
中１の問題ですが，結構難しいと思います。
数学が得意な人は，ぜひチャレンジしてみて下さい。
わたしなりの解説も準備してみました。

問題
$${\left[x\right]=x}$$の整数部分　というように記号［　］を定義する。このとき，$${\left[\dfrac{5}{7}\right]+\left[\dfrac{10}{7}\right]+\left[\dfrac{15}{7}\right]+\left[\dfrac{20}{7}\right]+…+\left[\dfrac{245}{7}\right]+\left[\dfrac{250}{7}\right]}$$の値を求めよ。

thinking time…

解答・解説
整数部分＝全体ー小数部分　を目指します。
全体は，
$${\dfrac{5}{7}+\dfrac{10}{7}+\dfrac{15}{7}+\dfrac{20}{7}+…+\dfrac{245}{7}+\dfrac{300}{7}=\left(\dfrac{5}{7}+\dfrac{250}{7}\right)×25=\dfrac{6375}{7}}$$。
また，$${\dfrac{5}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{15}{7},\dfrac{20}{7},\dfrac{25}{7},\dfrac{30}{7},\dfrac{35}{7}}$$の7つを1セットとします。
小数部分の和は，
$${\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{6}{7}+\dfrac{4}{7}+\dfrac{2}{7}=3}$$になります。

数は全部で50個並んでいるので$${50÷7=7…1}$$となり，7セットと1つになります。
つまり，49番目までの小数部分を集めると$${3×7=21}$$になります。

また，50番目は$${\dfrac{250}{7}=35\dfrac{5}{7}}$$になるので，小数部分は$${21+\dfrac{5}{7}=\dfrac{152}{7}}$$。

よって，$${\dfrac{6375}{7}-\dfrac{152}{7}=889}$$となります。
答え　$${\underline{889}}$$

最初，整数部分の和を考えればいいと思いましたが，数が大きくなったときに対応できないので，小数部分の法則性に注目して解いてみました。
答えに自信がなかったので，別解で答えを確かめました。

別解
セットの和を書くと次のようになります。
$${17,52,87,122,157,192,227}$$
この和に50番目の35を加えます。
よって，$${17+52+87+122+157+192+227+35=889}$$。
なので，答えは正しいようですね。

階差数列の和を考えても答えが出せそうです。
$${a_n:17,52,87,122,157,192,227}$$，$${b_n=35}$$とすると，
$${a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k}$$より，
$${a_n=17+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}35=17+35(n-1)=35n-18}$$

49番目までの整数の和を$${S_n}$$とすると，
$${S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}35k-18=\dfrac{n}{2}(35n-1)}$$
$${S_7=\dfrac{7}{2}(35×7-1)=854}$$。
よって，$${854+35=889}$$。

同じ答えになりましたね。

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