%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{超対称量子力学を以て可解ポテンシャル問題の解を述べん} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 超対称性の奥深き理論は、多数なる物理的諸問題に対し、尊いる洞察を提げん。是にて、特に目を向けんとすべき応用の一例として、超対称量子力学を駆使し、可解ポテンシャル問題の解法を語らん。

初めに、ボーズ変数$x$とフェルミオン$c,\hc{c}$を包含せる系を考察す。スーパーポテンシャル$w\qty(x)$を使用し、超電荷を次のごとく定義せん。 \begin{align} &Q:=\hc{A}c\nt &\hc{Q}=A\hc{c}\nt &A:=\partial-w'\qty(x)\nt &\hc{A}=-\partial-w'\qty(x) \end{align} 此れにより、ハミルトニアンは以下の様になりん。 \begin{align} H&=\acom{Q}{\hc{Q}}\nt &=\hc{A}A+\com{A}{\hc{A}}\hc{c}c \end{align} 敬愚ながら、これはWitten模型（或いはその定数倍）を形どるものであると考えん。フェルミオンパリティが$\hc{c}c=0,1$、すなわち$\pm1$のセクターごとのハミルトニアンを$H_0,H_1$と称し、次のように表せん。 \begin{align} &H_0=\hc{A}A=-\partial^2+w'\qty(x)^2+w''\qty(x)\nt &H_1=A\hc{A}=-\partial^2+w'\qty(x)^2-w''\qty(x) \end{align} これらは、ポテンシャル$V_\pm(x)=w'\qty(x)^2\pm w''\qty(x)$を有する非相対論的シュレディンガー方程式と関連し。超対称の建築により、これらハミルトニアンが\textbf{等スペクトル}を持つことが保たれ、すなわち、一方のスペクトルが既に知られていれば、もう一方のスペクトルも0エネルギー基底状態を除いて確定せん。さらに、エネルギー固有状態も、一方が既知なれば、超対称変換$Q\qty(\hc{Q})$、すなわち波動関数の次元では$\hc{A}\qty(A)$を作用せしむることで、他方も得られん。

これらの議をもって、一方のハミルトニアンが可解模型にてあれば、他方のハミルトニアンも可解なるハミルトニアンの対を形づくることが可能なり。これらハミルトニアン$H_0,H_1$が更なる形状不変性（SI）の性質を持たん場合、基底状態のみを求めても、元のハミルトニアンの励起状態も全て得るべくなり、これは著しき特徴となりん。SIは可解性の十分条件として認識せられん。