まずここまでのあらすじを見直そう。

我々は「自然数の素因数分解」をお手本に考察していったところで、ひとまず「素数のようなもの」への分解が可能となるような世界を、次の意味で抽象した：

簡約条件と約鎖条件を満たす可換な単位的半群Ｒにおいて、零元以外の任意の元は、いくつかの既約元と可逆元の積に分解される。（可逆元自身は０個の既約元と可逆元の積と考える。）

元を可逆元および既約元の積で表すことを既約元分解と呼んだ。既約元とは真の約元を持たない元であった。これ以上本質的な分解がないシロモノで、いわゆる根源的な要素というものである。

ところで、一般に元を既約元分解したとき、果たしてそれしか分解の仕方がなかったのだろうか、という一意性の問題がある。

実は、既約元分解可能な簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒであっても、分解の一意性を満たさないという例が実際に存在する。

今回はそのような例を確認し、その例を通して一意的に分解するための必要条件を考える。そのとき素元という概念が現れることをみよう。

１．２通りの既約元分解がある例（３で割って１余る自然数全体）

３で割って１余る自然数全体をＲとおく。Ｒの元を最初の方だけ具体的に並べて表示すれば、
　Ｒ＝｛１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２，･･･｝
である。この集合に、乗法として通常の自然数の乗法を用いると、Ｒは簡約条件を満たす可換な単位的半群である。

このＲでは２通りの既約元分解をもつ元が存在したのは、以前に以下の記事にも述べたように、
　２２０＝１０×２２＝４×５５
という２通りの既約元分解が具体的な例であった。

２．２通りの既約元分解がある例（Ｚ[√(-5)]）

あまり見慣れない世界かもしれないが、伝統的な例を一つ見ておこう。

　Ｒ＝｛ａ＋ｂ√(-5)｜ａ，ｂは整数｝

という集合Ｒを考える。√(-5)とはー５の平方根である。つまり、√(-5)を２乗するとー５となる数と定義する：
　（√(-5)）＾２＝－５

これを複素数の部分集合と思えば、乗法が定義されていて、Ｒの中で積は閉じている。また、単位元１を含んでいるから、乗法について可換な単位的半群である。もちろん簡約条件も満たす。

このＲは
　Ｚ[√(-5)]
と書くこともある。

さて、実はＲにおいて６の既約分解として

　６＝２×３＝（１＋√(-5)）×（１－√(-5)）
という（同伴の関係を無視して）２通り存在する。

２，３，（１＋√(-5)），（１－√(-5)）がＲの中で既約元であることは自明なものではなく、確認すべき事項である。

その証明は既約元の定義に従ってＲの中で元が分解されたと仮定し、直接調べればわかる。しかしノルムという自然数全体への（単位的半群としての）準同型写像を用いることで証明が簡単化される。しかしノルムの定義と性質、および適用する話になると１記事分くらいのゆとりをもって別途考察したいので、ここではノルムを使わずに行う。

少なくとも、２が既約元であることだけでも直接定義に従って証明してみよう。それ以外の元についてはここでは割愛し、ノルムを導入したのちに確認されよう。

３．２がＲ＝Ｚ[√(-5)]において既約元であることの直接的証明

この節では２の既約性の確認だけであるので、これを認める場合は読み飛ばしていただいて構わない。

　２＝（ａ＋ｂ√(-5)）（ｃ＋ｄ√(-5)）
とＲの中で分解されるとする。右辺を展開し、実部・虚部を比べれると、
　２＝ａｃ－５ｂｄ　　･･･①
　０＝ａｄ＋ｂｃ　　　･･･②
を得る。

・ａ＝０の場合
　②より
　　ｂｃ＝０
　ここでｂ＝０なら（ａ＋ｂ√(-5)）＝０になるから矛盾する。よって
　　ｂ≠０，ｃ＝０
　となる。すると最初の立式から
　　２＝ー５ｂｄ
　を得る。これは左辺の２も５の倍数となって矛盾する。

・同様にしてｃ＝０も矛盾である。

そこでａ≠０，ｃ≠０としてよい。

・ｄ＝０の場合
　②より
　　ｂｃ＝０
　で、ｃ≠０より
　　ｂ＝０
　よって、
　　２＝ａｃ
　となって、これは整数での分解だから
　　ａ＝±１，ｃ＝±２（複合同順）
　よって、いずれも２の分解が真の約元での分解にはなっていない。

・ｂ＝０も同様である。

・ｂ≠０，ｄ≠０の場合
　①の両辺にｄを乗じると
　　２ｄ＝ａｃｄ－５ｂｄｄ
　また②より
　　ａｄ＝－ｂｃ
　であるから、
　　２ｄ＝－ｂｃｃ－５ｂｄｄ
　　　　＝－ｂ（ｃｃ＋５ｄｄ）

　この両辺に絶対値を取ると、
　　２｜ｄ｜＝｜ｂ｜｜ｃｃ＋５ｄｄ｜

　ｄ≠０，ｃ≠０だから
　　｜ｄ｜＜｜ｃｃ＋５ｄｄ｜
　である。よって、上の等式より
　　２＞｜ｂ｜
　でなければならない。今ｂ≠０であるから
　　｜ｂ｜＝１

　同様の論法から、
　　｜ｄ｜＝１

　よって、①，②より以下の２つの等式を得る：
　　２＝ａｃ±５
　　ａ＝±ｃ
　しかし、このようなａ，ｃは整数の範囲で解をもたない。

以上より、２はＲにおいては真の約元を持たないことが分かった。■

４．一意性の必要条件

このように２通りの既約元分解が存在するような例が存在している。そこで、まずは一意性が成り立つための必要条件を考えよう。

Ｒ＝Ｚ[√(-5)]の例では２は６の既約な約元であるが、もし分解が一意的であれば６をどのように分解しても、その分解した要素の中に２を因子として持たなければならない。

つまり、
　６＝ａｂ　⇒　２｜ａ　または　２｜ｂ　　　･･･（★）
が成り立たなければならない。

ところが、上のＲにおいては
　６＝（１＋√(-5)）（１－√(-5)）
という分解があって、その分解の２つの要素
　（１＋√(-5)），（１ー√(-5)）
はどちらも２で割り切れないのが実際であった。

これは一般のＲでも同様に考えることができて、Ｒで既約元分解が（同伴を除いて）一意的であるならば、既約元は（★）のような性質が満たされるべきである。そこでそのような性質を持った既約元に名前を付けて定義しよう：

【定義（暫定）】
既約元分解可能な簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、Ｒの既約元ａが次の性質を満たすとき、ａを素元（そげん）という：
　Ｒの元ｘ，ｙについて、
　ａ｜ｘｙ　⇒　ａ｜ｘ　または　ａ｜ｙ

５．素元の定義の改良

上の定義で、（暫定）とあるのは、実は元ａが既約元である必要はないことがわかる。つまり、零元でも可逆元でもない元ａについて、
　ａ｜ｘｙ　⇒　ａ｜ｘ　または　ａ｜ｙ
が成り立てば、ａが既約元となることが自動的に従う。

実際、
　ａ＝ｘｙ
と積の形で分解できたとき、特に
　ａ｜ｘｙ
でもあるから、素元の定義より
　ａ｜ｘ　または　ａ｜ｙ
が成り立つ。そこでａ｜ｘと仮定しても一般性は失われない。このとき、
　ｘ＝ａｚ
となる元ｚが存在するから
　ａ＝ｘｙ
　　＝ａｚｙ
よって、ａが零元でないから簡約条件より
　１＝ｚｙ
を得る。これはｙ，ｚが可逆元であることを意味する。従って、ａはａと同伴な元と可逆元との積になる。これはａが既約元であることを言っている。
　
従って、上の素元の定義でａが「既約元」という条件は不要で、「零元または可逆元でない元」という条件に置き換えたものでよく、改めてこちらを定義しておこう。

【定義（改）】
既約元分解可能な簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒについて、Ｒの零元または可逆元でない元ａが次の性質を満たすとき、ａを素元（そげん）という。
　ｘ，ｙがＲの元について、
　ａ｜ｘｙ　⇒　ａ｜ｘ　または　ａ｜ｙ

６．既約元＝素元なら一意分解性を導くか

前節でみたように、素元は既約元である。

しかし、上の例によって任意の既約元が素元になるとは限らない。概念の包含関係としては
　既約元　⊃　素元
となっているが、
　既約元　⊂　素元
かどうかは一般にはいえない。

そこで、既約元と素元の概念が一致するようなＲの場合は、一意分解性を満たしてくれるかどうか調べてみよう。このことは次回にしたい。