１．知り合いの知り合いという関係

３つのグループＡ，Ｂ，Ｃがあるとする。

ＡグループのａさんとＢグループのｂさんが知り合い関係であるとき、これを記号で
　ａθｂ
と書くとしよう。

ＢグループのｂさんとＣグループのｃさんについても同様に、互いに知り合い関係であるとき、
　ｂψｃ
と書くとしよう。

ＡグループのａさんとＣグループのｃさんはＢグループのｂさんを介して知り合った。すると、ａとｃさんの関係も「知り合い」になる。

こうして新しくＡグループとＣグループの上にも関係という概念が生じる。この関係は関係θと関係ψを使って定義されるから記号で、
　ａψ◦θｃ
と書くとしよう。

この新しい関係は、ｂを媒介にしてａとｃがつながることに注目している。知り合いの知り合いは、互いに知り合いになるということである。

２．関係の合成

この話をもっと一般的な状況でも通じるように定義してみよう。

集合Ａ，Ｂ，Ｃがあり、Ａ×Ｂ上の関係θと、Ｂ×Ｃ上の関係ψが与えられているとする。このとき、Ａ×Ｃ上の関係ψ◦θを
　ａψ◦θｃ　⇔　あるｂ∈Ｂが存在して、ａθｂ　かつ　ｂψｃ
で定義する。これを２項関係θとψの合成（composition）という。

また、
　ａψ◦θｃ　⇔　ａθｂψｃ　となるｂ∈Ｂが存在する
と略記することもある。（θとψの順番に注意）

特にＡ＝Ｂ＝Ｃのとき（これらをＡで表せば）、Ａ上の２項関係θ，ψの合成ψ◦θは再びＡ上の新たな２項関係ができる。

さらにθとψがともにＡ上の同値関係であるとき、合成ψ◦θもまた同値関係である：
・反射率：ａψ◦θａ（ａ∈Ａ）
　（∵ａθａψａより）
・対称率：ａψ◦θｂ　⇒　ｂψ◦θａ　（ａ，ｂ∈Ａ）
　（∵ａθｘψｂ　⇒　ｘθａ，ｂψｘ　⇒　ｂψｘθａ）
・推移率：ａψ◦θｂ　かつ　ｂψ◦θｃ　⇒　ａψ◦θｃ
　　　　　（ａ，ｂ，ｃ∈Ａ）
　（∵ａψｘθｂ，ｂψｙθｃ⇒ａθｘψｂθｙψｃ）

同値関係に加えて、Ａ上の演算μが定義されているとき、θ，ψがともに演算μと両立するならば、合成ψ◦θも演算μと両立する：
　　　すべてのｉでａ(i)ψ◦θｂ(i)　
　⇒　すべてのｉに対してあるｘ(i)があって、ａ(i)θｘ(i)ψｂ(i)
　⇒　μ(ａ)θμ(ｘ)ψμ(ｂ)
　　　ただしａ＝(ａ(1)，･･･，ａ(n))，ｂもｘも同様
　⇒　μ(ａ)ψ◦θμ(ｂ)

３．合成による演算

このことは、
　Ａ上の２項関係すべてから成る集合上、
　Ａ上の同値関係すべてかる成る集合上、
　あるいは、代数系Ａ上の合同関係すべてから成る集合上に、
関係の合成◦を乗法として演算がそれぞれ定義されることを意味する。

この乗法◦は
（１）結合法則をみたす：
　(φ◦ψ)◦θ＝φ◦(ψ◦θ)

【確認】
　　ａ(φ◦ψ)◦θｂ　⇔　ａθｃ(φ◦ψ)ｂ
　　　　　　　　　⇔　ａθｃ，ｃψｄφｂ
　　　　　　　　　⇔　ａθｃψｄφｂ
　　　ａφ◦(ψ◦θ)ｂ　⇔　ａ(ψ◦θ)ｄφｂ
　　　　　　　　　⇔　ａθｃψｄ，ｄφｂ
　　　　　　　　　⇔　ａθｃψｄφｂ　■

（２）単位元が存在する：
　任意の関係（または同値関係、または合同関係）θに対して、
　　ε◦θ＝θ◦ε＝θ
　となる（同値または合同）関係εが存在する。

【確認】
　　ａεｂ　⇔　ａ＝ｂ
で関係ε定めれば、このＡ上の２項関係εは「等号」関係であるから、同値（合同）関係であり、
　ａε◦θｂ　⇔　ａθｃεｂ
　　　　　⇔　ａθｃ，ｃ＝ｂ
　　　　　⇔　ａθｂ
　ａθ◦εｂ　⇔　ａεｃθｂ
　　　　　⇔　ａ＝ｃ，ｃθｂ
　　　　　⇔　ａθｂ　■

よって、単位的半群となっている。