今回は第９話で保留した最大公約数の２つの定義の同値性を確認しよう。そのためには最小公倍数の２つの定義から始まり、その同値性を示す。次に最大公約数の２つ定義とその同値性を示す。

最後にこの証明を見直し、何を使ったか観察してみよう。我々は自然数のある１つの初等的な原理を使っていることに注目する。従ってすべてはその原理が素因数分解の一意性を導いていたことになる。

１．最小公倍数の２つの定義

【定義１】
　任意の２つの自然数ａ，ｂについて、次の２条件を満たす自然数ｍをａとｂの最小公倍数という：
　　（１）ａ｜ｍ　かつ　ｂ｜ｍ
　　（２）ａ｜ｍ’　かつ　ｂ｜ｍ’　⇒　ｍ≦ｍ’

【定義２】
　任意の２つの自然数ａ，ｂについて、次の２条件を満たす自然数ｍをａとｂの最小公倍数という：
　　（１）ａ｜ｍ　かつ　ｂ｜ｍ
　　（２）ａ｜ｍ’　かつ　ｂ｜ｍ’　⇒　ｍ｜ｍ’

条件（１）はともにｍが公倍数であることをいっている。

定義１と定義２の違いは条件（２）の結論部分である：
　定義１の条件（２）は公倍数の中で大小関係についての最小値
　定義２の条件（２）は公倍数の中で整除関係についての最小値
をいっている。

２．最大公約数の２つの定義

【定義１】
　任意の２つの自然数ａ，ｂについて、次の２条件を満たす自然数ｄをａとｂの最大公約数という：
　　（１）ｄ｜ａ　かつ　ｄ｜ｂ
　　（２）ｄ’｜ａ　かつ　ｄ’｜ｂ　⇒　ｄ’≦ｄ

【定義２】
　任意の２つの自然数ａ，ｂについて、次の２条件を満たす自然数ｄをａとｂの最大公約数という：
　（１）ｄ｜ａ　かつ　ｄ｜ｂ
　（２）ｄ’｜ａ　かつ　ｄ’｜ｂ　⇒　ｄ’｜ｄ

条件（１）はともにｄが公約数であることをいっている。

定義１と定義２の違いは条件（２）の結論部分である：
　定義１の条件（２）は公約数の中で大小関係についての最大値
　定義２の条件（２）は公約数の中で整除関係についての最大値
をいっている。

３．（最小公倍数）定義１⇒定義２

ａ，ｂを任意の自然数とし、ｍを最小公倍数の定義１を満たすものとする。このｍが最小公倍数の定義２を満たすことを示す。（１）はそのままであるから、（２）をいえばよい。

ｍ’をａ，ｂの任意の公倍数とする：
　ａ｜ｍ’　かつ　ｂ｜ｍ’

このとき
　ｍ’＝ａｘ’＝ｂｙ’　　　･･･①
を満たす自然数ｘ’，ｙ’が存在する。

同様にして、ｍも公倍数であるから
　ｍ＝ａｘ＝ｂｙ　　　　･･･②
を満たす自然数ｘ，ｙが存在する。

そしてｍの大小関係に関する最小性（定義１の（２））より
　ｍ≦ｍ’
である。

ｍ＝ｍ’なら
　ｍ｜ｍ’
であるからそれでよい。

そこで、ｍ＜ｍ’とする。

①－②より
　ｍ’－ｍ＝ａ（ｘ’－ｘ）＝ｂ（ｙ’－ｙ）　･･･③
となる。なお、③の値は正の数であるから、自然数における減法が問題なく定義される。

③よりｍ’－ｍはｍ’より真に小さいａとｂの公倍数である。従って改めてこれをｍ’として①の議論に戻れば、ｍ＝ｍ’ならそれでよく、ｍ＜ｍ’であれば再び③の式が得られる。

こうして、③⇒①⇒③⇒①⇒･･･という繰り返しがｍ＜ｍ’である限り繰り返される。公倍数ｍ’の列は各ステップで真に小さくなるから、自然数の単調減少列である。従って、あるステップの段階でｍ＝ｍ’とならなければならない。このとき、それがＮ回目（Ｎ≧１）で起きたとすれば
　ｍ’－（Ｎ－１）ｍ＝ｍ
即ち、
　ｍ’＝Ｎｍ
である。

従って、
　ｍ｜ｍ’
が証明された。

４．（最小公倍数）定義２⇒定義１

逆は次のことから明らかである：
　ｍ｜ｍ’　⇒　ｍ’＝ｍｘ　を満たす自然数ｘが存在する
　　　　　⇒　ｍ≦ｍ’

５．（最大公約数）定義１⇒定義２

ａ，ｂを任意の自然数とし、ｄを最大公約数の定義１を満たすものとする。このｄが最大公約数の定義２を満たすことを示す。（１）はそのままであるから、（２）をいえばよい。

ｄ’をａ，ｂの任意の公約数とする：
　ｄ’｜ａ　かつ　ｄ’｜ｂ

ｄ’とｄの最小公倍数をｍとおく：
　ｄ’｜ｍ　かつ　ｄ｜ｍ　　　　　　　　　･･･④
　ｄ’｜ｍ’　かつ　ｄ｜ｍ’　⇒　ｍ｜ｍ’　　･･･⑤

このとき、
　ｍ＝ｄ
を示せばよい。

④のｄ｜ｍより、明らかに
　ｄ≦ｍ　　　･･･⑥
である。

一方、ｄ’およびｄはそれぞれａ，ｂの公約数であった：
　（ｄ’｜ａ　かつ　ｄ’｜ｂ）　かつ　（ｄ｜ａ　かつ　ｄ｜ｂ）
即ち、これは見方を変えればａおよびｂはそれぞれｄ’，ｄの公倍数である：
　（ｄ’｜ａ　かつ　ｄ｜ａ）　かつ　（ｄ’｜ｂ　かつ　ｄ｜ｂ）

よって、⑤より
　ｍ｜ａ　かつ　ｍ｜ｂ
である。これはｍがａとｂの公約数であることを意味する。

従って、ｄの大小関係に関する最大性（定義１の条件（２））より
　ｍ≦ｄ　　　･･･⑦
を得る。

よって、⑥と⑦により、
　ｍ＝ｄ
である。

６．（最大公約数）定義２⇒定義１

逆は次のことから明らかである：
　　ｄ’｜ｄ　⇒　ｄ＝ｄ’ｘ　を満たす自然数ｘが存在する
　　　　　　⇒　ｄ’≦ｄ

７．最小公倍数の証明に関する観察

最小公倍数における定義２⇒定義１の証明中に、無限に公倍数の単調減少列が作れないことをみた。そこでは、ｍの最小性が効いていて最終的に
　ｍ’－（Ｎ－１）ｍ＝ｍ
となることから従う。

ところでこの等式の左辺は、自然数ｍ’からｍを繰り返し減じるという操作をしている。一般には１つの自然数からある自然数を繰り返し減じた結果が、その減じた自然数自身と一致するとは限らない。

この観察は、自然数における除法の原理を暗示している：

　任意の自然数ａ，ｂに対して、０以上の整数ｑ，ｒで、
　　ａ＝ｂｑ＋ｒ　（０≦ｒ＜ｂ）
　となるものが存在する。

この「除法の原理」は自然数における加法と乗法の定義から直ちに得られる結果で、これは加法と乗法を結びつけている。

一方、単位的半群では２項演算は乗法のみを定義して考察している。このことから、このような原理が成り立つような一般の世界を考えるには、まず加法と乗法の２つの２項演算を導入しなければならない。そしてそれらがいくつかの公理を満足するとき、環や半環などと呼ばれる代数系に対応するが、その世界で一意分解条件が成り立つための条件を、整数や自然数のこのような知見から抽象化して考察を進めることもできるだろう。しかしそれは本章の範囲を超えてしまう。

８．結論

今回は、最小公倍数や最大公約数の２つの定義の同値性を見てきた。最大公約数の定義２⇒定義１を示すところで、最小公倍数を使った。そして最小公倍数の証明を振り返ると、自然数の世界は結局のところ加法と乗法を結びつける「除法の原理」に行きついた。

「除法の原理」はもはや可換な単位的半群のモデルの範疇になく、加法の構造も追加されるようにモデルチェンジしなければならない。そしてその中で一意分解の考察を続けることになろうが、それは本章の範囲を超える。

次回はここまでの考察の経緯を概観して最終話にしよう。