可換な単位的半群Ｒに約鎖条件を考えたことで既約元分解可能となることを、第６回で考察した。そこではその逆が成り立つかどうか筆者の中ではまだ完成していなかった。今回反例を一つ見つけたと思われるので補足という位置づけで考察を追加しよう（注意１）。なお物語の向かうところには影響なくて、単に論理的関心である。

以下の命題は必ずしも成り立たない：

　簡約条件を満たす可換な単位的半群Ｒで、
　（Ⅱ’）既約元分解可能　⇒　（Ⅱ）約鎖条件

その反例を示そう。

※注意１：参考にしたのはWikipediaで見かけた以下の記事であるが直接は使えない。そこでは定数項のみ整数で、１次以上の項は有理数係数の多項式環であった。このままの例では単項式Ｘが既約元とならず、Ｘは可約にも関わらず既約元分解されない。しかし無限の約鎖が得られるというのは面白かった。そこで１次までを整数係数に変更し、単項式Ｘが既約元となるところで考察した。

１．Ｒの定義

有理数係数の多項式全体が成す多項式環ℚ[X]の部分環Ｒを次のように定める（注意１）：
　Ｒ＝ℤ＋ℤX＋ℚX^2＋ℚX^3+ℚX^4＋･･･
　（定数項と１次の項は整数係数、２次以上は有理数係数の多項式の全体）

以下では単に多項式といえばＲの元で考えている。特にＲの乗法に関して、可換な単位的半群となる。単位元は１、零元は０、可逆元は１のみである。また、以下の（Ⅰ）簡約条件も満たす。

（Ⅰ）簡約条件
　ｆ，ｇ，ｈが多項式のとき、
　ｆ≠０，ｆｇ＝ｆｈ　⇒　ｇ＝ｈ
は満たす。

これは、ℚ[X]が整域であるから特にＲも整域であることから従う。（注意２）

※注意１：一般に、集合Ｒに加法および乗法の２項演算が定義されていて、Ｒは加法に関して可換群、乗法に関して単位的半群、加法に対する乗法の分配法則が成り立つ代数系を環という。環でさらに乗法が可換であれば可換環という。１変数多項式環とは、１つの文字を変数とした多項式全体が成す集合Ｒに、加法と乗法が次のように定められている：
・加法の定義：
　各次数ｎに対してｎ次の係数を、それぞれのｎ次の係数の和で定め、これらをすべてのｎ≧０にわたって和を取る。
・乗法の定義：
　各次数ｎに対してｎ次の係数を、それぞれの係数の積を次数の和がｎとなる項にわたって和を取り、これらをすべてのｎ≧０にわたって和を取る。

※注意２：可換環Ｒが零因子を持たないとき、即ち、
　ａ，ｂ∈Ｒ，ａｂ＝０　⇒　ａ＝０　または　ｂ＝０
が成り立つときにＲを整域（せいいき）という。
Ｒが整域であれば、
　ｘａ＝ｘｂ　⇒　ｘａ－ｘｂ＝ｘ（ａーｂ）＝０
　　　　　　　⇒　ｘ＝０　または　ａ－ｂ＝０
であるから、ｘ≠０であれば
　　　　　　　⇒　ａ＝ｂ
となる。よって、Ｒは簡約条件を満たす。

２．Ｒが既約元分解可能であること

まず既約元が何か。多項式の０次と１次については
　ｐ：±素数　⇔　ｐは既約元
　ａＸ＋ｂ：ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝１　⇔　ａＸ＋ｂ：既約元
ということはすぐにわかる。

ただし、整数ａ，ｂ（ともに０は除く）についてａとｂの最大公約数(greatest common divisor)を
　ｇｃｄ（ａ，ｂ）
で表す。特に最大公約数は正の数としておく。

さて多項式ｆ∈Ｒ，ｆ≠０，１は既約元分解されることを示す。
　ｆ＝ｇｈ　（ｇ，ｈ∈Ｒ）
とする。

今、Ｒは特に整域上の多項式環であるから、
　ｆの次数＝ｇの次数＋ｈの次数
が成り立つ。ただし、一般に多項式の次数とは、その多項式に現れる項の次数の最大値とする。

次数に関する帰納法で証明する。まずｆが０次なら素因数分解そのものであるからよい。また１次なら既約元は上の通りであるから、
　ｃ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ）
としてｃ＝１ならそれでよい。ｃ＞１なら、
　ｆ＝±ｃｈ
で、ｈは上の事から既約元。よってｃの素因数分解とｈの既約元からｆは既約元分解される。

ｆの次数をｎ≧２とし、ｎ次より小さい次数の多項式の場合は既約元分解されるとする。ｆが既約ならそれでよい。また、ｇまたはｈの次数がｎより真に小さいなら帰納法の仮定によってそれでよい。

ｇの次数とｈの次数の組み合わせが（ｎ，０）または（０，ｎ）とする。積は可換だからどちらかだけ、例えば（０，ｎ）の場合を考えればよい。これはｆが
　ｆ＝（定数項）×（ｎ次式）
となっている。今、
　ｆ＝ａ＋ｂＸ＋（２次以上の式）
とおくとき、ａ，ｂは整数、２次以上は有理数係数である。

ａ≠０，ｂ≠０の場合：
　ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝１のとき、
　　ｇの次数０よりｇ＝±１だからｆは既約元である。
　ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝ｃ＞１のとき、
　　ｇ＝±ｃで、ｈは０次と１次の係数の最大公約数が１となる。
　　そしてｈは上のことから既約元である。よって、
　　　ｆ＝±ｃｈ
　　で、±ｃは既約元分解でき、ｈは既約元だからｆは既約元分解される。

ａ＝０の場合：
　ｆ＝ｂＸ＋（２次以上の式）
であるから、Ｘ｜ｆとなって、ｇの仮定（次数０）に反する。

ａ≠０，ｂ＝０の場合：
　ａ＝１のとき、
　　　ｆ＝１＋（２次以上の式）
　　で、ｇの次数０よりｇ＝±１だからｆは既約元となる。
　ａ≠１なら、ｇ＝±ａで、ｈは
　　ｈ＝１＋（２次以上の式）
　となる。これは上により既約元である。よって、ｆは
　　ｆ＝±ａｈ
　で、±ａは既約元分解され、ｈは既約元だからｆは既約元分解される。

３．Ｒが約鎖条件を満たさないこと

Ｒの多項式Ｘ^2は
　Ｘ^2＝Ｘ・Ｘ
だから可約元で、このように既約元分解される。

一方、
　Ｘ^2＝（X^2 /2）・２
だから、　
　X^2 /2｜X^2

以下同様にして、
　･･･｜X^2 /8｜X^2 /4｜X^2 /2｜X^2
という無限の約鎖を持ち、従って約鎖条件を満たさない。

４．まとめ

簡約条件を満たす可換な単位的半群について、
　（Ⅱ’）既約元分解可能　⇒　（Ⅱ）約鎖条件
は必ずしも成り立たない。（この逆は常に成り立つ）

従って（Ⅱ’）既約元分解条件を得るには（Ⅱ）約鎖条件は少し強い条件に見える。

しかしながら、
　　　（Ⅱ’）既約元分解可能　かつ　（Ⅲ）素元条件　
　⇔　（Ⅱ）約鎖条件　かつ　（Ⅲ）素元条件
は成り立つことを第７回で予定している。

つまり（Ⅲ）素元条件というものが付帯されれば両者は等価となるくらいの近さはある。