整数を分解する際、±１による分解と、符号のみ異なる２つの整数による分解に相当する概念を考えよう。それらは「可逆元」や「同伴」という概念でまとめられる。

１．±１による分解

整数の世界で考えると、任意の整数ｘは１でもー１でも常に割り切る：
　１｜ｘ，－１｜ｘ
しかし、これは
　ｘ＝１・ｘ
　ｘ＝（－１）・（－ｘ）
ということだから分解としては進んでいない。

刀で竹を斬ろうとしたが空を斬って実質何も斬ってないようなものである。

例えば素数の定義に１を入れないのも、分解の一意性よりも、分解が進まないからと考えるのが自然なようである。整数を１で分解しても、それは空を斬っているのと同じである。

２．可逆元による分解

このことは、一般の可換な単位的半群Ｒにおいて言えば、
　ａは可逆元　⇒　任意の元ｘについてａ｜ｘ
であるが、これの逆も言えて、
　任意の元ｘについてａ｜ｘ　⇒　ａは可逆元
が成り立つ。従って、
　ａは可逆元　⇔　任意の元ｘについてａ｜ｘ
である。

【証明】
　（⇒）：
　　ｘをＲの任意の元とする。ａが可逆元なら、その逆元をａ’とすると
　　　ｘ＝１・ｘ
　　　　＝（ａａ’）ｘ
　　　　＝ａ（ａ’ｘ）
　　である。よって、ａ｜ｘである。
　（⇐）：
　　仮定により特にＲの単位元１に対して
　　　ａ｜１
　　を満たすから
　　　１＝ａｂ
　　となるＲの元ｂがある。従ってａは可逆元である。■

今、Ｒの元ｘを分解したいとする。上の事からａが可逆元であればａ｜ｘであるから
　ｘ＝ａｙ
となるｙがある。このｙはａの逆元ａ’を使って
　ｙ＝ａ’ｘ
である。これを代入すると
　ｘ＝ａａ’ｘ
となる。（注意１）

（注意１：Ｒでは結合法則を満たすので（　）は省略した。以後も特に断らず（　）を省略することがあるだろう。）

以後、これを繰り返すと、
　ｘ＝ａａ’ａａ’･･･ａａ’ｘ
という、いくらでも分解が走って永遠に止まらない。竹の話でいえば空を斬りまくっているだけである。そこで、この方向で分解し続けることはもう十分わかったので、今後は可逆元を除いて分解を扱いたい。つまり可逆元自身は分解要素として認めないことにする。

これは冒頭でも述べたように、素数の定義に１を除く理由に通じる。

３．同レベルの分解

次に、分解の進み具合が同レベルの分解もある。例えば、整数の世界で１２を２で割るのと、その可逆元（－１）倍であるー２で割るのとでは、
　１２＝２×６
　１２＝（－２）×（－６）
であるから、分解した相方である６とー６は単に可逆元倍（符号）の違いだけである。整数の範囲で１２の約数は
　±１，±２，±３，±４，±６，±１２
とあるが、この符号（±）の違いに関しては上記で確認したように、可逆元が”無駄な”分解要素に当たるから、これらは分解の上で「同レベル」だと考えられる。

次にこのことを明確に定義しよう。

４．同伴の定義

元ａ，ｂが互いに可逆元倍の違いでしかないとき、つまり、
　ａ＝ｕｂ　かつ　ｂ＝ｕ’ａ
　（ｕ，ｕ’はお互いを逆元としあうような可逆元）
となるとき、
　ｂ｜ａ　かつ　ａ｜ｂ
となる。

ところで、整除関係”｜”には反射律と推移律を満たしていた。それゆえ前順序集合と名付けられていた。この順序の意味で「分解が進む」という表現ができた。しかし、反対称律は必ずしも成り立つ訳ではなかった。

反対称律とは、
　ａ｜ｂ　かつ　ｂ｜ａ　⇒　ａ＝ｂ
という性質であった。この命題の仮定を満たすようなａ，ｂがあっても、いつでも
　ａ＝ｂ
とは限らないため、常に反対称律が成り立つ訳ではないのであった。

しかしこの命題の仮定を満たすａ，ｂというのは、まさに元ａ，ｂが可逆元の違いでしかないときに成り立った。

そこで、次のような定義をしよう：

Ｒは可換な単位的半群とする。Ｒの元ａ，ｂについて
　ａ｜ｂ　かつ　ｂ｜ａ
が成り立つとき、
　ａ～ｂ
と書き、これをａとｂは互いに同伴であるという。

５．同伴の性質

同伴”～”もまたＲの上の２項関係であるが、今度は反射律、対称律、推移律を満たす。（証明は定義からすぐ帰結する。）従って、同伴”～”はＲの上の同値関係である。Ｒを同値関係～で割った集合をＲ’とおく。このＲ’では具体的にＲの元の何と何を同一視したのか調べてみよう。

ａ～ｂとすると、その定義より
　ａ｜ｂ　かつ　ｂ｜ａ
である。よってあるＲの元ｘ，ｙが存在して
　ａ＝ｂｘ，ｂ＝ａｙ
と書ける。すると、
　ａ＝ｂｘ
　　＝（ａｙ）ｘ
　　＝ａ（ｙｘ）　　　･･･（♠）
となる。

ここで、我々はＲに次の簡約条件を付帯させていた：
（Ｉ）簡約条件：
Ｒにおける零元０以外の任意の元ａについて、
　ａｘ＝ａｙ　⇒　ｘ＝ｙ
が成り立つ。

そうすれば上記の（♠）より
　ｘｙ＝１
を導く。これはｘ，ｙはそれぞれお互いを逆元とする可逆元である。

６．結論

よって、簡約条件が成り立つ可換な単位的半群Ｒの元ａ，ｂについて

　　　ａ～ｂ
　⇔　ａとｂが互いに同伴である
　⇔　ａとｂが互いに可逆元倍の違いでしかない

ということがわかった。

同伴な関係にある２元は、分解を考える上では同レベルな分解要素ということである。

特に、１と同伴な元全体は可逆元全体である：
　　ｕ～１
　⇔ｕは可逆元である

これは竹を斬る話でいうところの、空を斬るような元を意味する。

従って、無駄な分解とは１と同伴な元であって、それ以外の元（１と同伴ではない元）が実質的に重要になってくる。

こうして、同伴という同値関係を導入することで、分解の元で非本質的な部分はそぎ落とされて、すっきりと表現される。