前回で『同値関係と両立する写像（３）』では、演算が同値関係と両立する場合に商集合上に演算が引き起こされることを見た。

『引き起こす』では、写像ｆが引き起こす同値関係～および商集合の上の自然な写像ｇを述べた。

今回は、この２つを使う。即ち、写像ｆ：Ｘ→Ｙが同じｎ項演算の間の準同型となる場合に、ｆで引き起こされた自然な写像ｇも準同型となることをみよう。これは準同型定理といわれる。このため『引き起こす』で述べた命題は、ｆは一般の写像であるが「集合としての」準同型定理として考えることができる。

１．準同型定理

２つの集合Ｘ，Ｙに同じｎ項演算μ，νがそれぞれ付帯されているとする。ＸからＹへの写像ｆがこれらの演算について準同型であることを、その対応する演算を強調して
　ｆ：(Ｘ，μ)→(Ｙ，ν)
と書く場合がある。対応する演算が判断つく場合は簡単に、写像
　ｆ：Ｘ→Ｙ
が準同型である、などと表現する。

一般の写像ｆ：Ｘ→Ｙがあるとき、写像ｆが引き起こす同値関係～：
　ｘ～ｙ　⇔　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)
による商集合Ｘ’＝Ｘ／～から、Ｙへの単射ｇが引き起こされた：
　ｇ：Ｘ’→Ｙ
　ｇ◦π＝ｆ
ただし、写像π：Ｘ→Ｘ’は、自然な全射とする：
　π(ｘ)＝[ｘ]
　　　＝｛ｓ∈Ｘ｜ｓ～ｘ｝
（『引き起こす』より）

ｆ：(Ｘ，μ)→(Ｙ，ν)が準同型を仮定すれば、次の準同型定理が成り立つ：

【準同型定理】
ｆ：(Ｘ，μ)→(Ｙ，ν)が同じｎ項演算間の準同型写像であれば、Ｘのｎ項演算μはｆが引き起こすＸ上の同値関係～と両立し、ｆが引き起こす自然な写像
　ｇ：(Ｘ’，μ’)→(Ｙ，ν)
は単射準同型写像となる。特にｆが全射ならばｇは同型写像である。

２．準同型定理の証明

ｆ：(Ｘ，μ)→(Ｙ，ν)を準同型写像とする。このときＸのｎ項演算μはｆで引き起こされた同値関係～と両立する。実際、
　　　ａ(1)～ｂ(1)，･･･，ａ(n)～ｂ(n)
　⇒　ｆ(ａ(1))＝ｆ(ｂ(1))，･･･，ｆ(ａ(n))＝ｆ(ｂ(n))
　　　（∵～の定義）
　⇒　ν(ｆ(ａ(1))，･･･，ｆ(ａ(n)) )＝ν(ｆ(ｂ(1))，･･･，ｆ(ｂ(n)) )
　　　（∵辺々をνで演算）
　⇒　ｆ( μ(ａ(1)，･･･，ａ(n)) )＝ｆ( μ(ｂ(1)，･･･，ｂ(n)) )
　　　（∵ｆは準同型）
　⇒　μ(ａ(1)，･･･，ａ(n))～μ(ｂ(1)，･･･，ｂ(n))
　　　（∵～の定義）
　（ａ(ｉ)，ｂ(ｉ)∈Ｘ，(１≦ｉ≦ｎ)）

よって、『同値関係と両立する写像（３）』よりＸの演算μを使って商集合Ｘ’に演算μ’が引き起こされる：
　μ’：Ｘ’×･･･×Ｘ’→Ｘ’
　π◦μ＝μ’◦π×･･･×π
ここで、写像
　π×･･･×π：Ｘ×･･･×Ｘ→Ｘ’×･･･×Ｘ’
は、ｎ個のπ：Ｘ→Ｘ’の直積写像である：
　π×･･･×π(ｘ(1)，･･･，ｘ(n))＝( π(1)，･･･，π(n) )
　（ｘ(1)，･･･，ｘ(n)∈Ｘ）

ｇ：(Ｘ’，μ’)→(Ｙ，ν)が準同型であることは、
　　ｇ◦μ’( [ｘ(1)]，･･･，[ｘ(n)] )
　＝ｇ◦μ’◦π×･･･×π(ｘ(1)，･･･，ｘ(n))　　　　　　（∵πの値）
　＝ｇ◦π◦μ(ｘ(1)，･･･，ｘ(n))　　　　　　　　　　（∵πは準同型）
　＝ｆ◦μ(ｘ(1)，･･･，ｘ(n))　　　　　　　　　　　（∵ｇの定義）
　＝ν◦(ｆ×･･･×ｆ)(ｘ(1)，･･･，ｘ(n))　　　　　　　（∵ｆは準同型）
　＝ν◦{ (ｇ◦π)×･･･×(ｇ◦π) }(ｘ(1)，･･･，ｘ(n))　　　（∵ｇの定義）
　＝ν◦(ｇ×･･･×ｇ)( [ｘ(1)]，･･･，[ｘ(n)] )　　　　　（∵πの値）
より従う。

ｇが単射であることは冒頭でみた。よってｇは単射準同型とわかる。

特に、ｆが全射であれば、ｇ◦π＝ｆよりｇも全射であるから、ｇは全単射となる。全単射な準同型写像は同型写像であるから、後半が従う。

３．準同型写像による像

全射とは限らない一般の準同型写像ｆ：Ｘ→Ｙによる像ｆ(Ｘ)はＹの部分集合である。ｆが全射であればｆ(Ｘ)とＹが一致し同型を得た。

一般にｆ(Ｘ)はＹの演算νについて閉じていることを確認しよう。

ｆ(Ｘ)から任意のｎ個の元ｙ(1)，･･･，y(n)を取ってくる。このとき、ｆ(Ｘ)の定義から、各ｉ＝１，･･･，ｎについて
　ｆ(ｘ(ｉ))＝ｙ(ｉ)
となるＸの元ｘ(ｉ)が存在する。これより、
　　ν( ｙ(1)，･･･，ｙ(n) )
　＝ν( ｆ(ｘ(1))，･･･，ｆ(ｘ(n)) )
　＝ｆ(μ(ｘ(1))，･･･，μ(ｘ(n)) )
　∈ｆ(Ｘ)
となり、従ってｆ(Ｘ)はＹの演算νについて閉じている。

準同型定理でｆが全射でない場合は、写像ｇの行き先としてｆ(Ｘ)に制限すれば
 　ｇ’：(Ｘ’，μ’)→(ｆ(Ｘ)，ν）
として全単射な準同型、つまり同型写像ｇ’を得る。

また、このとき
　ｉ：ｆ(Ｘ)→Ｙ
を包含写像（inclusion function）、つまり部分集合の元をそれを含む集合の元自身に対応させる写像：
　ｉ(ｙ)＝ｙ，ｙ∈ｆ(Ｘ)
とおくとき、
　ｇ＝ｉ◦ｇ’
とｇが２つの写像の合成写像に分解される。

４．まとめ

こうして、準同型写像ｆ：Ｘ→ＹがあればＸの中でｆ(Ｘ)⊂Ｙの演算構造と同型なものがｆを使って構成されることがわかった。しばしば同型を示すときの基本的な手法として使われる。

それは人は実物を見て模型を作るように、Ｘがｆ(Ｘ)を見てＸ自身の中でｆ(Ｘ)と同じモノをｆを使って構成しよう、ということを言っている。