書記が数学やるだけ#827 マシュケの定理,シューアの補題,指標の性質
有限群の表現に有用な定理をいくつか見ていく。
問題
説明
マシュケの定理・シューアの補題は,有限群の既約性を考える上で重要な定理である。対象により色々な言い方があるが,今回は○のみで十分。
群の表現の指標は,群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像であり,群の性質を濃縮している。
指標は,固体物理における結晶の対称性に用いられる:
指標表の作成には,指標における直交性が有用である:
解答
表現Vが部分表現WとG部分不変空間W'に分解できることを示し,これを繰り返し適用することでマシュケの定理が証明できる。
シューアの補題の証明では,核と像から同型を示していく。
指標の性質を示すにあたり,以下のような固定点集合を考える。
以上の定理・補題より,指標の正規直交性や位数との関係式などが導出できる。
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