書記が数学やるだけ#836 極と極線,調和点列
極と極線および調和点列について一般化を行う。
問題
①は円について極と極線および調和点列を考える,2006年の神戸大では放物線が出題された。
説明
二次曲線に2本の接線を引き,接線の交点を極,接点同士を結んだ直線を極線という。
複比が-1の場合を,特に調和共役という。
解答
極線の方程式を導出するには,接線の方程式を考えればよい。
本題は以下の等式で,以下の場合においてベクトル方程式を考える。
式変形により調和点列であることがわかる。
以上のことを二次曲線に一般化するために,接線・極線の式を導出しておく。
交点の斉次座標から複比が-1であることが求められ,調和点列であることが示せた。
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