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書記が物理やるだけ#286 ローレンツ変換の導出

今回から特殊相対性理論を扱っていく。スタート地点としてローレンツ変換から始めていく。


問題


説明

ローレンツ変換は,2 つの慣性系の間の座標を結びつける線形変換である:

電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために,アイルランドのジョセフ・ラーモア(1897年)とオランダのヘンドリック・ローレンツ(1899年、1904年)により提案された。アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論(1905年)を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。


解答

まずこの変換が線形であることを示す。


次にx0とx1の変換がx2,x3によらないことを示す,これによりx0,x1の変換式は4つの未知数にまで絞れる。


各座標系の原点の動きから,未知数をまとめていく。


光速不変の原理を用いて,全ての未知数を求めることができた。


最後に平行移動するx2とx3の変換を求めておく。


よって,ローレンツ変換は以下の式で表すことができる。


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