高校生ぐらいに、数学について

ゲーデルの不完全性定理など
を教えて
考える楽しさを知らせたい

と言う議論があります。

私は、この趣旨には賛成ですが、いきなりゲーデルには抵抗があります。その代わりに

無限に関連した議論

に触れる必要があると思います。

私達は、直感的に『無限大』という言葉を使います。これを言葉で言うと

1,2,3,･･･どこまでも大きくなる

という感じでしょう。

これは数学で言うと

可算無限

の範囲の無限大です。実際は、高校で学ぶ微積分や実数は

これより大きい非加算無限

です。非可算無限は、一つ一つ数え上げることができません。こうした

無限に大きい数にも
階層がある

ということを知るのは、現在の数学を理解するため早道です。

さて、これを直感的に納得する、説明はできるでしょうか？

私の理解は

１と２の間に可算無限個の数(小数)が存在

というイメージです。ここで大切なことは

可算無限でも数え挙げで到達できない

ということです。こうして考えると、非可算無限の世界は

少なくとも2重の到達不可能

があります。これを直感的に把握すると、ゲーデルの不完全性定理の
証明も見通しがよくなります。