直通運転 とは？

乗客が乗り換えをしなくとも他の路線に乗れる運転方法です。
大きく分けると次の２つです。
１．自社線内 直通運転
２．他社線 　直通運転

１は、京王線 ⇔ 京王相模原線、西武新宿線 ⇔ 西武拝島線 のようなものを指します。
２は、JR中央線 ⇔ 地下鉄東西線、京成押上線 ⇔ 地下鉄浅草線 のようなものを指します。
この内、世間一般的に挙げることが多いのは２の方です。そのため、ここでも２の方を指して話を進めていきます。

メリット
言わずもがなですので、簡単に言います。乗り換えをしなくていい。改札も通らなくていい。
乗ったままで目的地に着ける（近づける）ため、大きな荷物を持っている、足腰が悪い、その土地に明るくないなど乗り換えが大変なときは有難いものです。

デメリット
ダイヤ乱れの影響を受けやすい。運行形態が複雑になりやすい。
自分たちの路線が正常に動いていても直通運転先でダイヤが乱れた場合、自分たちのところまでも乱れることがあります。神奈川で乱れが起きたのに埼玉まで波及ということも……。
また、行き先や種別が多岐にわたるため、降りたかった駅を通らない、停まらないなんてこともあります。

運賃の計算方法

乗り換えの手間を減らしているだけで、運賃は単純にそれぞれの路線の運賃を足していきます。
つまり、直通運転の境界駅で１回改札を出ようが、そのまま乗っていようが原則運賃計算は同じです。（ただし一部の駅は境界駅で改札を出ると高くなります。）

ということは、「途中、スカイツリー見に行こう」とかが運賃変わらず可能です。
当たり前ですが、運賃が変わらないのは境界駅で出場した場合に限った話です。境界駅でない所での出場は単なる下車ですので、詳しくないならやみくもに降りるのはやめましょう。