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キーワード

• Poincaré計量

• ホロノミー群

• Levi-Civita接続

問題

Poincaré計量 $${(U=\{(x,y)|y>0\}, g=1/y^2dx\otimes dx+1/y^2dy\otimes dy)}$$のLevi-Civita接続におけるホロノミー群がSO(2)であることを示せ。

解答

接続係数はChristoffel記号を計算して

$$
\Gamma^x_{\mu\nu}=\left(\begin{matrix}&-1/y\\-1/y&\end{matrix}\right), \qquad\Gamma^y_{\mu\nu}=\left(\begin{matrix}1/y&\\&-1/y\end{matrix}\right)
$$

とわかる。

$${V=V^xe_x+V^ye_y}$$を$${x=x_0=const.}$$に沿って$${y}$$方向に平行移動させるとき、

$$
\nabla_yV=0\qquad\therefore\begin{cases}∂_yV^x-V^x/y=0\\∂_yV^y-V^y/y=0\end{cases}
$$

で、一般解は$${V(x_0,y)=yV(x_0,1)}$$である。

一方$${y=y_0=const.}$$に沿って$${x}$$方向に平行移動するとき、

$$
\nabla_xV=0\qquad\therefore\begin{cases}∂_xV^x-V^y/y=0\\∂_xV^y+V^x/y=0\end{cases}
$$

で、一般解は

$$
V(x,y_0)=\left(\begin{matrix}\cos\frac{x-x_0}{y_0}&-\sin\frac{x-x_0}{y_0}\\\sin\frac{x-x_0}{y_0}&\cos\frac{x-x_0}{y_0}\end{matrix}\right)V(x_0.y_0)\equiv R\left(\frac{x-x_0}{y_0}\right)V(x_0,y_0)
$$

である。$${R}$$は回転行列。

図のような経路をとると、

$$
V(x_0,y_0)=V_0\to R\left(\frac{x-x_0}{y}\right)V_0\to\frac{y}{y_0}R\left(\frac{x-x_0}{y}\right)V_0\to R\left(-\frac{x-x_0}{y}\right)\frac{y}{y_0}R\left(\frac{x-x_0}{y}\right)V_0\to R\left((x-x_0)\left(\frac{1}{y_0}-\frac{1}{y}\right)\right)V_0
$$

と変換し、$${x,y}$$を自由に取ることでSO(2)がホロノミー群$${H(p)}$$の部分群であることがわかる。

一方この多様体は向きづけ可能であり、Levi-Civita接続は計量と両立するので$${H(p)}$$はSO(2)の部分群。

以上、 $${H(p)=\mathrm{SO}(2)}$$.