提唱

• A. W. Overhauser and R. Colella, "Experimental Test of Gravitationally Induced Quantum Interference", Phys. Rev. Lett. 33, 1237 (1974)

実験

• R. Colella, A. W. Overhauser, and S. A, Werner, "Observation of Gravitationally Induced Quantum Interference", Phys. Rev. Lett. 34, 1472 (1975)

実験者 Colella, Overhauser, Werner の3名から COW effect と呼ばれる。

キーワード

• 量子力学

• 重力

• 中性子干渉

概要

1. 地上ではハミルトニアンに重力ポテンシャルが入る

2. 重力ポテンシャルの異なる2経路の間で干渉が発生する

詳細

動機

量子力学のテキストでは重力を考慮することは珍しいが、本来質量を有するハミルトニアンには非相対論的には重力ポテンシャル $${Mgy}$$ が入る。この効果を量子力学に特有な事象と関連づければ、プランク定数と重力加速度という一般に相入れない物理量を混ぜられることが期待される。

設定

試験粒子として相互作用の少ない中性子を選ぶ。中性子を図のように2つの経路へ分け、再び合成することで、干渉が現れる。反射には Si の単結晶による Bragg 反射を使い、ビームはコヒーレント、それを He で検出する。

原理

熱中性子の非相対論的ハミルトニアン

$$
H=\frac{p^2}{2M}+mgz
$$

を仮定。これ自体は A. W. McReynolds (1951) 及び J. W. T. Dabbs, J. A. Harvey, D. Paya, and H. Horstmann (1965) にて中性子の自由落下が測定された結果から正当化される。

シュレディンガー方程式の解は

$$
\psi=\exp\left[\int\frac{dt}{i\hbar}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}+mgz\right)\right]=\exp\left[\int\frac{ds}{i\hbar v}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}+mgz\right)\right]
$$

で表される。図の経路で位相差は

$$
\Phi_\mathrm{ABCE}-\Phi_\mathrm{ABDE}=\frac{mg}{i\hbar v}\oint -dsz=\frac{mgA}{i\hbar v}=-\frac{2\pi i\lambda m^2gA}{h^2}
$$

と書ける。$${A}$$ は重力に平行な面積。

実験

具体的なアラインメントは本文 (COW 1975) 参照。大まかには前掲の図にて AD を軸に装置全体を回転させることで、経路長を保ちつつ重力に平行な面積 $${A}$$ を変える。

反射などを起こす1箇所での入射・反射・透過波動関数が図のように表せるとすると、

$$
\left(\begin{matrix}\psi_o^1 \\ \psi_o^2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r & t \\ t' & r'\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\psi_i^1 \\ \psi_i^2\end{matrix}\right)
$$

の形に書ける。確率が保存する条件から行列はユニタリで、

$$
|r|^2=|r'|^2=1-|t|^2=1-|t'|^2,\quad r^\ast t+r't'^\ast=r^\ast t'+r't^\ast=0
$$

を満たす。この時はじめの図の点Eにて

$$
\begin{array}{rcl}\Psi_H&=&\Psi_0(r_Bt'_JR_Cr'_Le^{i\Phi_{BCE}}+t'_BR_Dt_It'_Ke^{i\Phi_{BDE}})\\\Psi_O&=&\Psi_0(r_Bt'_JR_Ct_Le^{i\Phi_{BCE}}+t'_BR_Dt_Ir_Ke^{i\Phi_{BDE}})\end{array}
$$

であり、$${|\Psi_0|=1}$$としてそれぞれのノルムを計算すると、

$$
\begin{array}{rcl}I_O=|\Psi_O|^2&=&|R|^2|t|^2(|r|^4+|t|^4-2|r|^2|t|^2\cos(\Phi_{BCE}-\Phi_{BDE}),\\I_H=|\Psi_H|^2&=&2|r|^2|R|^2|t|^4[1+\cos(\Phi_{BCE}-\Phi_{BDE})]\end{array}
$$

となる。このもとで

$$
\mathscr{O}(\lambda):=\frac{I_O-I_H}{I_O+I_H}=(|r|^2-|t|^2)^2-4|r|^2|t|^2\cos∆\Phi
$$

となる。重力による干渉は$${\Delta\Phi}$$に反映されるので、回転によって$${\mathscr{O}}$$が振動することを見る。

実験は単色中性子 $${\lambda=1.445\:\mathrm\AA}$$ だけでなく $${0.71\:\mathrm\AA}$$ X線でも行う。これは回転時に自重で装置の形状が歪み、経路長が変わる効果を見積もるため。

Fourier変換によって振動数を解析して理論値と比較している。