さて、ではその15始めましょー。
前回に引き続き一次不等式をやっていきます。

なお、章節は基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

さーて、今回の問題は。

60ページ EXERCISES 28 (2)
西南学院大で出題された問題です。

次の不等式を解け
$${|x-1|+2|x-3|\leqq11}$$

…絶対値と不等式って相性良いんですかね。笑

えー、こいつはですね。
前回と同様場合分けを行うのですが、少しパターンを増やして
計算する必要があります。
基本的には前回の不等式と変わりありませんけどね。
ではまず、場合分けをしていきましょう。

最初に、$${|x-1|}$$について場合分けします。
$${|x-1| = \left \{\begin{array}{l} x-1  …(x-1 \geqq 0、すなわち x \geqq 1のとき)\\-(x-1)  …(x-1 < 0、すなわちx<1のとき)\end{array}\right.}$$
次に、$${|x-3|}$$について場合分けします。
$${|x-3| = \left \{\begin{array}{l} x-3  …(x-3 \geqq 0、すなわち x \geqq 3のとき)\\-(x-3)  …(x-3 < 0、すなわちx<3のとき)\end{array}\right.}$$

これらをミックスすると下の図で場合分けを考えられます。

まずaの部分を考えます。$${x<1}$$なので絶対値を外すときは
$${|x-1| = -(x-1)}$$、$${|x-3| = -(x-3)}$$となります。
次にbの部分を考えます。$${1\leqq x<3}$$なので絶対値を外すときは
$${|x-1| = x-1}$$、$${|x-3| = -(x-3)}$$となります。
最後にcの部分を考えます。$${x \geqq 3}$$なので絶対値を外すときは
$${|x-1| = x-1}$$、$${|x-3| = x-3}$$となります。

以上を踏まえて解いていきます。
では解いていきましょう。

$${x<1}$$のとき（aの部分です）
$${-(x-1)+2\{-(x-3)\} \leqq 11}$$
$${-x+1+2(-x+3) \leqq 11}$$
$${-x+1-2x+6 \leqq 11}$$
$${-3x+7 \leqq 11}$$
$${-3x \leqq 11-7}$$
$${-3x \leqq 4}$$
えー、次両辺を$${-3}$$で割ります。符号の向きが変わりますので注意です。
$${x \geqq -\dfrac{4}{3}}$$
もともと$${x<1}$$のときについて計算しているので計算結果との共通部分が
$${x}$$の値の取り得る範囲となります。
ということで$${-\dfrac{4}{3} \leqq x < 1}$$となります。①

$${1\leqq x<3}$$のとき（bの部分です）
$${x-1+2\{-(x-3)\} \leqq 11}$$
$${x-1+2(-x+3) \leqq 11}$$
$${x-1-2x+6 \leqq 11}$$
$${-x+5 \leqq 11}$$
$${-x \leqq 11-5}$$
$${-x \leqq 6}$$
両辺を$${-1}$$で割ります。符号の向きが変わりますので注意です。
$${x \geqq -6}$$
今度は$${1\leqq x<3}$$と$${x \geqq -6}$$の共通部分が
$${x}$$の値の取り得る範囲となりますので
$${1\leqq x<3}$$となります。②

$${x \geqq 3}$$のとき（cの部分です）
$${x-1+2(x-3) \leqq 11}$$
$${x-1+2x-6 \leqq 11}$$
$${3x-7 \leqq 11}$$
$${3x \leqq 11+7}$$
$${3x \leqq 18}$$
$${x \leqq 18\div3}$$
$${x \leqq 6}$$
これも$${x \geqq 3}$$と$${x \leqq 6}$$が$${x}$$の値の取り得る範囲となりますので
$${3 \leqq x \leqq 6}$$となります。③

最後に場合分けしていた①と②と③をつなぎ合わせます。

ということで解答は
$${-\dfrac{4}{3} \leqq x \leqq 6}$$となります。

はい、解けましたぁ～

さて、今回で一次不等式は終わりとします。
そして１章も終わりとなります。
ここまでお付き合いで読んでいただいてありがとうございました。

次回ですが、結構悩んだんですよ。
数Aの第１章にするか、数Ⅱ、はたまた数Bにするか…
結局、数Ⅰの第２章を解いていくことにしました。笑

新しい章に突入ということで私的にもちょっとワクワクしております。
第２章は『集合と命題』です。
特に命題については『ややこしやぁ～』の世界なので
さらに混乱してしまうかも知れませんじっくりやっていきたいなぁと
思っています。

でわまた。