さて、ではその19始めましょー。
今回は前回に引き続き集合の問題を解いていきます。

なお、章節は基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

今回は68ページ EXERCISES 33 (1)
流通科学大で出題された問題です。

この問題、問題文自体は短いですけど、手数は多めになるだろうなと
私は思いました。
まぁ、現役生からしてみれば序の口だって言われちゃうかもしれませんが。苦笑

今回はこの問題の解く手順から整理してみたいと思います。
集合Aは2つの要素は定数で確定しており、残りの要素がaの式で表現されています。
他方、集合Bはすべての要素がaの式で表現されています。
上記よりまずは集合Aにおいてaの値を求めるのが良さそうだと想定できます。
なので今回は以下の手順で解いていきたいと思います。

【手順１】
$${A \cap B}$$と集合Aを元にaの値を確定する。

【手順２】
手順１で得られたaから集合Bの要素を確定する。

【手順３】
$${A \cup B}$$を求める。

こんな見通しを立てましたが、間違っていたら手順の見直しを行おうと思います。では手順１から順番に実施していきます。

【手順１】
$${A \cap B =\{3,7\}}$$なので$${7 \in A}$$です。
また、$${A=\{3, 5, a^2+5a+13\}}$$から
$${a^2+5a+13=7}$$となります。

要は集合Aと集合Bの共通部分の要素が3と7で
集合Aの要素が3と5とaの式だから
7がaの式で表現されているっていうことを書いてます。

ということで二次方程式$${a^2+5a+13=7}$$を解きます。

えーと、この二次方程式は中学校の数学の範囲なのでサクッと解いちゃいます。

$${a^2+5a+13=7}$$
$${a^2+5a+13-7=0}$$
$${a^2+5a+6=0}$$
$${(a+2)(a+3)=0}$$←因数分解してます。
$${a=-2,-3}$$

aが求められましたので手順１は終わりです。
念のため書いておきますが、
$${A=\{3, 5, 7\}}$$となります。

【手順２】
$${B=\{a-1,a+2,|a|,a^2+2a+4\}}$$に-2、-3を代入して集合Bを確認します。

-2を代入したとき
$${a-1=(-2)-1=-3}$$
$${a+2=(-2)+2=0}$$
$${|a|=|-2|=2}$$
$${a^2+2a+4=(-2)^2+2\times(-2)+4=4-4+4=4}$$

-3を代入したとき
$${a-1=(-3)-1=-4}$$
$${a+2=(-3)+2=-1}$$
$${|a|=|-3|=3}$$
$${a^2+2a+4=(-3)^2+2\times(-3)+4=9-6+4=7}$$

ここで
$${A \cap B =\{3,7\}}$$なので$${3 \in B,7 \in B}$$です。
この条件と合致するのは$${a=-3}$$のときの
$${B=\{-4,-1,3,7\}}$$となります。

Bの要素が確定できたので手順２は終わりです。

【手順３】
$${A \cup B}$$を求めます。
和集合なので集合Aと集合Bの要素をすべて列挙します。
（同じ数値でダブらないように気を付けましょう）
$${A \cup B=\{-4,-1,3,5,7\}}$$

はい、解けましたぁ～

なんか、オーソドックスな高校数学の問題って感じです。
集合の問題で二次方程式を解く（因数分解を使う）とか
複数の要素が絡んでいるってところがいかにもって思いました。

さて、今回で５集合はおしまいです。
次回からは国語の問題６論理と集合をやっていこうと思います。

でわまた。