さて、ではその14始めましょー。
前回に引き続き一次不等式をやっていきます。

なお、章節は基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

さーて、今回の問題は。

58ページ PRACTICE 34 (3)
千葉工大で出題された問題です。

次の不等式を解け
$${|3x-4| < 2x}$$

…出ましたぁ～！絶対値！
（その9）実数（1）でも書きましたが、
一般化することによって逆にややこしくなっている例として
取り上げさせてもらいました。

今回はおさらいということで書いてみますね。
$${|a| = \left \{\begin{array}{l} a  (a \geqq 0のとき)\\-a  (a < 0のとき)\end{array}\right.}$$
となります。

上記の通り、そもそも基本事項で場合分けしているんです。
式を解くときも場合分けをしましょう。

ということで
$${3x-4 \geqq 0}$$のときと
$${3x-4 < 0}$$のときとでそれぞれ式を解いていきます。

でわまず、$${3x-4 \geqq 0}$$のときの計算をします。
ちなみに$${3x-4 \geqq 0}$$のときの$${x}$$の値は
$${3x-4 \geqq 0}$$
$${3x \geqq 4}$$
$${x \geqq \dfrac{4}{3}}$$ となります。(①とします)

…えーと、さくっと式解いてますけど分かっていただけると信じております。

ではちょっと数学っぽく書いて$${3x-4 \geqq 0}$$すなわち$${x \geqq \dfrac{4}{3}}$$のときは
$${|3x-4| < 2x}$$の絶対値をそのまま外して計算します。
つまり、$${3x-4 < 2x}$$という式を解きます。
$${3x-4 < 2x}$$
$${3x-2x < 4}$$
$${x < 4}$$(②とします)

①と②から$${x}$$の取り得る範囲は
$${\dfrac{4}{3} \leqq x < 4}$$となります。(③とします)

続いて$${3x-4 < 0}$$のときの計算をします。
こちらも$${3x-4 < 0}$$のときの$${x}$$の値を求めます。
$${3x-4 < 0}$$
$${3x < 4}$$
$${x < \dfrac{4}{3}}$$ (④とします)

このときは$${|3x-4| < 2x}$$の絶対値を外すときにｰ(マイナス)をつけます。
つまり、$${-(3x-4) < 2x}$$という式を解きます。
$${-(3x-4) < 2x}$$
$${-3x+4 < 2x}$$
$${-3x-2x < -4}$$
$${-5x < -4}$$
最後に両辺をｰ5で割りますが、不等号の向きを変えるのをお忘れなく…
$${x > \dfrac{4}{5}}$$ (⑤とします)

④と⑤から$${x}$$の取り得る範囲は
$${\dfrac{4}{5} < x < \dfrac{4}{3}}$$となります。(⑥とします)

さて、この計算ですがもともと場合分けをして計算していますので
場合が無くなったときの$${x}$$の取り得る範囲を求めれば
答えとなります。
つまり③と⑥を合わせた範囲が答えとなります。

ということで
$${\dfrac{4}{3} \leqq x < 4}$$と$${\dfrac{4}{5} < x < \dfrac{4}{3}}$$を
合体させます。

式の順番を変えると
$${\dfrac{4}{5} < x < \dfrac{4}{3}}$$と$${\dfrac{4}{3} \leqq x < 4}$$となり

丁度よく$${\dfrac{4}{3}}$$より小さいところと$${\dfrac{4}{3}}$$以上の
ところでうまくつながります。

なので答えは
$${\dfrac{4}{5} < x < 4}$$となります。
はい、解けました～。

ほんとは図を書こうかなと思ってたんですけど、
面倒くさいので次回の問題で書こうと思っておりますので
今回は省略しました。

絶対値がでてくると場合分けで不等式が出てくるわけです。
なので一次不等式で絶対値が良く扱われるということなのでしょう。

ということで今回は終わりにしたいと思います。
でわまた。