さて、ではその23始めましょー。

いやー、１週間空けてしまいました。
化学はもう１週間空けちゃいそうです。（こっちに書いてどうする）

ということで今回は関数とグラフの問題を解いてみたいと思います。

なお、章節は基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

今回は96ページ EXERCISES 46
センター試験の類題です。

ア、イ、ウ、エを求めます。

さて、この問題は平方完成で式を変形します。
$${y=ax^2+bx+c}$$の場合、平方完成すると
$${y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}}$$となりますので

頂点の座標は$${\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \right)}$$となります。

問題の式は$${y=ax^2-(6-2a)x+4}$$なので
$${y=ax^2+bx+c}$$の式に当てはめると
$${a}$$は$${a}$$
$${b}$$は$${-(6-2a)}$$
$${c}$$は$${4}$$となりますので頂点の座標の式に値を入れて計算してみます。

んじゃ、まず$${x}$$座標から行きましょう。
$${-\dfrac{b}{2a} = -\left( \dfrac{-(6-2a)}{2a}\right)= -\left( \dfrac{2a-6}{2a}\right)}$$
$${= -\left( \dfrac{2a}{2a}-\dfrac{6}{2a}\right)= -\left(1-\dfrac{6}{2a}\right)}$$
$${= -\left(1-\dfrac{3}{a}\right)= \dfrac{3}{a}-1}$$

問題文の$${x}$$座標は$${\dfrac{ア}{a}-イ}$$なので

アは3、イは1となります。

では次に$${y}$$座標をもとめましょう。
$${-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{\{-(6-2a)\}^2-4a\times4}{4a}}$$
$${-\dfrac{(2a-6)^2-16a}{4a}=-\dfrac{4a^2-24a+36-16a}{4a}}$$
$${=-\dfrac{4a^2-40a+36}{4a}}$$
さて、ここで頭の負号と次数によって分数を分けるのを同時にやると
負号の付け間違いをしやすいのでいったん、負号だけ計算しちゃいます。
$${=\dfrac{-4a^2+40a-36}{4a}=\dfrac{-4a^2}{4a}+\dfrac{40a}{4a}+\dfrac{-36}{4a}}$$
それぞれ約分します。
$${=-a+10+\dfrac{-9}{a}}$$
ちょっとだけ式を変形します。最後の分数の負号を外に出しちゃいます。
$${=-a+10-\dfrac{9}{a}}$$

問題文の$${y}$$座標は$${-a+ウ-\dfrac{エ}{a}}$$なので
ウは10、エは9となります。

はい、解けましたぁ～

今回は$${y=ax^2+bx+c}$$の平方完成を行い、$${x}$$座標と
$${y}$$座標の式を出してから問題文の係数の値を代入しましたが、
問題文を直接平方完成してしまっても良いと思います。

やり易い方で求めることができれば良いと思います。

気を付けなければいけないのは平方完成を行うところで
因数分解をしてしまってはいけないということです。

とはいえ、部分的に２次関数の平方の因数分解をしていますが…
ややこしいので気を付けたいところです。

さて、次回も関数とグラフの問題を解いてみたいと思います。

でわまた