こんにちは。tomoです。
非常に久しぶりの投稿。しかも今までとは全然違う勉強の話題です。

社会人になってからずっと解きたいと思っていたセンター試験。もはや共通テストと名前を変えてしまったものですが、現役高校生だったとき以来十数年ぶりに解いてみました。数学ⅠAだけ。

「ゆーて結構いけるやろ」と思って解き始めたはいいものの試験時間の倍の時間をかけても大して解けないという悲しい結果になったこととは全く関係なく、この問題全部解けるようになったら数ⅠAは概ね理解したと言えるのではないかと思ってどこに需要があるのかも全く分からないこの記事を書き始めました。

ということで最初の問題。ジャンルは『数と式』からの出題。『数と式』というのは数学の基本となるジャンルで、数字を文字に置き換えた計算全般という感じかなと思います。
指数(なんとかの何乗)とか、因数分解とか、ルートとかを巧みに操りながら計算していくジャンル。たぶん。

第1問

〔1〕実数 $${a, b, c}$$ が
　$${a + b + c = 1 ・・・①}$$
および
　$${a^2 + b^2 + c^2 = 1 ・・・②}$$
を満たしているとする。

　(1) $${(a + b + c)^2}$$ を展開した式において、①と②を用いると
　　　$${ab + bc + ca = \fbox{ アイ }}$$
　　であることがわかる。よって
　　　$${(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = \fbox{ ウエ }}$$
　　である。

なるほど。求めたいのは「$${ab + bc + ca}$$」。見当たらないのでとりあえず $${(a + b + c)^2}$$ を展開してみます。

$$
\begin{array}{lll}(a + b + c)^2 &=& (a + b + c)(a + b + c) \\\\
&=& a^2 + ab + ca + ab + b^2 + bc + ca + bc + c^2 \\\\
&=& a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\\\
&=& a^2 + b^2 + c^2 + 2(\underline{\bold{ab + bc + ca}})\end{array}
$$

無事$${ab + bc + ca}$$が出てきました。左辺の$${(a + b + c)^2}$$について①の式から$${a + b + c = 1}$$ということが分かっているので、左辺は1の2乗となり1。

右辺の$${a^2 + b^2 + c^2}$$も②から13ということが分かっているので上の式に代入すると

$$
1 = 13 + 2(a + b + c)
$$

ということになります。なので移項したり両辺を2で割ったりして

$$
\begin{array}{rcl}
1 - 13 &=& 2(a + b + c)\\\\
-12 &=& 2(a + b + c)\\\\
2(a + b + c) &=& -12\\\\
a + b + c &=& -12 ÷ 2\\\\
a + b + c &=& -6
\end{array}
$$

$${a + b + c}$$すなわち$${\fbox{ アイ }}$$は$${-6}$$であることが分かりました。

次に$${(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = \fbox{ ウエ }}$$。
$${a}$$も$${b}$$も$${c}$$も分かっていなければ、$${a - b}$$などもわかっていないのでとりあえず展開してみます。

ちなみに中学校で習うような気がしますが
$${(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2}$$なので展開すると以下のようになります。

$$
\begin{array}{lll}
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 &=& (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)\\\\
&=& 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca\\\\
&=& 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)
\end{array}
$$

ここで②から$${a^2 + b^2 + c^2 = 13}$$、さっき解いた$${\fbox{ アイ }}$$から$${ab + bc + ca = -6}$$ということが分かっているのでそれぞれ代入して

$$
\begin{array}{lll}
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 &=& 2 × 13 - 2 × (-6)\\\\
&=& 26 + 12\\\\
&=& 38
\end{array}
$$

となります。よって$${\fbox{ ウエ }}$$は$${38}$$ということが分かりました。

(2)くらいまでは書こうと思ってましたが、思ったより長くなったので今日はここまで。
これ以上ないくらいクドく問題を解きました。まだ100点満点中4点…。

今日分かったこと
・TeXの記述めんどうくさい。
・使えないコマンドが結構多い。

タイトルにその1と銘打ってますが、喋ったら5分で終わることを記事にすると1時間ほどかかるので次を書く気が起きるかどうかわかりませんが気が向いたら書きます。それでは。