$${24=3*2^{3}}$$であり、$${p^{2}-1=(p-1)(p+1)}$$ですので、
$${(p-1)(p+1)}$$が$${3}$$と$${2^3}$$を持ち得るか確かめればよさそうですね。
ここで、$${p-1,p,p+1}$$を考えてみましょう。
これらは連続する三つの自然数ですので、これらのうちひとつは$${3}$$の倍数です。
また、$${p}$$は素数ですので、$${p-1}$$か$${p+1}$$のどちらか一方は$${3}$$の倍数ですね（$${p}$$は$${5}$$以上ですので）。
そして、$${p}$$は$${2}$$以上かつ素数なので奇数です。
よって、$${p-1}$$と$${p+1}$$はどちらも偶数、すなわちどちらも$${2}$$の倍数です。
これで$${p^{2}-1}$$は$${3}$$と$${2^2}$$の倍数であることがいえます。
ここで、もうひとつ$${2}$$を探してみましょう。
$${p-1,p,p+1,p+2}$$を考えます。
$${p}$$と$${p+2}$$は奇数ですし（$${p}$$は$${5}$$以上の素数より）、
またこれらは四つの連続する自然数ですので、このなかに$${4}$$の倍数を含みます。
なので、$${p-1}$$か$${p+1}$$のどちらか一方が$${4}$$の倍数、ということになります（$${p-1}$$から$${p+1}$$まで$${2}$$しか離れていませんので、両方$${4}$$の倍数となることはありません）。
なので、$${p-1}$$と$${p+1}$$のどちらか一方は$${3}$$の倍数で、またどちらか一方は$${4}$$の倍数（$${3}$$の倍数と重複を許します）、どちらも偶数ですから、$${3*2^{3}}$$の倍数であることがわかります。
よって、題意がいえました。