こんにちは。今回は濃度の話をしようと思います。「濃度のお話１、２」では、集合Aと集合Bの濃度が等しいか等しくないか、の話しかしてませんでしたね。無限ホテルの時に話したように、濃度は個数のようなものですから、濃度にも大小関係を考えたいですよね。ということで、今回は濃度の大小関係について話します。

大小関係、または順序関係を定義する際に、満たすべき性質が三つあります。

１．cardA ≦ cardA
２．cardA ≦cardB かつcardB≦cardC なら、cardA≦cardC
３．cardA ≦cardB かつ　cardB ≦cardA　なら、cardA = cardB

この三つがそれなんですが、実数の大小関係を想像してもらえればそれと似たようなものだと納得してもらえると思います。

では、濃度の大小関係として、AからBへの単射な写像が存在するとき、cardA ≦cardBと書くことにしましょう。
まず、A, B, A*, B*に対して、cardA = cardA*,  cardB = cardB* で、
cardA ≦cardB　なのにcardA*≦cardB*ではない。なんてことがあると、
同じ濃度を比べているのに違う結果が出てしまって困るので、
cardA = cardA*,  cardB = cardB* で、cardA ≦cardB　ならcardA* ≦cardB*
を示しましょう。

濃度が等しいことの定義を思い出すと、二つの集合間の一対一対応が存在する事でした。　つまり、全単射な写像が存在する。ということです。
仮定から、A*からAへの全単射ｆと、BからB*への全単射写像hが存在します。ｆ、ｈは両方とも単射になりますね。（そもそも全単射の意味は単射かつ全射であった。）さらに、cardA ≦cardBで、これは、ＡからＢへの単射な写像が存在することを意味しているから、その写像をｇとする。
S:A* →B* で、a*$${\in}$$A*, S(a*) = h(g( f(a*) ) )　という風に定義すると、
A*の違う要素に対して、fが返す値は異なり、その異なる二つの値をｇに通すとやっぱり返す値は異なり、その二つをｈに突っ込むと、違う値を返すから、違うA*の要素に対して、Ｓが返すB*の要素は違うものになるから、Ｓは単射となる。

これで、二つの濃度を用意したときに、それがどういった大小関係になるかは一意に定まることがわかりました。
これから、この濃度間の関係"≦"が、上で述べた３つの性質を満たすことを示します。

$${\boxed{1}}$$　cardA ≦cardA
 AからAへの写像f:A→Aを、f(a) = aと定めると、これは明らかに単射ですね。（なんなら全単射）
これで$${\boxed{1}}$$はＯＫ．

$${\boxed{2}}$$  cardA ≦cardB かつcardB≦cardC なら、cardA≦cardC
仮定より、AからBへの単射ｆとＢからＣへの単射ｇが存在しますね。
ＡからＣへの写像を、g( f(a) ) と定めれば、これはさっきやったのと同じように単射であるとわかります。よってcardA ≦cardC
これで$${\boxed{2}}$$ も示せました。

$${\boxed{3}}$$ cardA ≦cardB かつ　cardB ≦cardA　なら、cardA = cardB

三つの中で、これが一番難しいです。これは、濃度の話２でもちょろっと話したのですが、この$${\boxed{3}}$$の事実は、ベルンシュタインの定理と呼ばれています。　証明をやってみましょう。

仮定より、ＡからＢへの単射ｆと、ＢからＡへの単射ｇが存在します。
もし、ｆ、ｇの少なくとも一方が全射でもあるなら、その写像は全単射となるので、証明は終わり。
とってきたf, gは両方とも全射ではないとします。

$$
B_0 \coloneqq B - f(A)(f(A) = B - B_0)\\
A_1 \coloneqq g(B_0),  B_1 \coloneqq f(A_1)\\
A_2 \coloneqq g(B_1), B_2 \coloneqq f(A_2)\\
・\\
・\\
・\\
$$

と順次定義していきます。$${A_1, A_2, \cdots はすべてＡの部分集合で、B_0, B_1, B_2, \cdots }$$はすべてＢの部分集合となることに注意しましょう。
さらに、

$$
A^* \coloneqq  \displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}\\
B^* \coloneqq  \displaystyle{\bigcup_{n=0}^\infty B_n}\\
A_* \coloneqq A - A^*,   B_* \coloneqq B - B^*
$$

と定義します。
このとき、

$$
f(A_*) = f(A - A^*) = f(A) - f(A^*) = (B - B_0) - f(\displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty A_n})\\ = (B - B_0) -\displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty f(A_n)} = (B- B_0) - \displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty B_n}\\
= B - (B_0 \cup \displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty B_n}) = B - \displaystyle{\bigcup_{n=0}^\infty B_n} = B - B^* = B_*
$$

$$
g(B^*) = g( \displaystyle{\bigcup_{n=0}^\infty B_n}) = \displaystyle{\bigcup_{n=0}^\infty g(B_n)} = \displaystyle{\bigcup_{n=0}^\infty A_{n+1}} = \displaystyle{\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}} = A^*
$$

よって、ｆは$${A_* \to B_*}$$で全単射となって、ｇは$${B^* \to A^* }$$で全単射となります。gが全単射なら、その逆写像$${g^{-1}: A^* \to B^*}$$も全単射になります。

ＡからＢへの写像Fを、

$$
a \in A(=A^* \cup A_*), \\
F(a) \coloneqq \begin{cases} f(a) \hspace{3mm} (a \in A_*)\\     \\ g^{-1}(a) \hspace{3mm} (a \in A^*)\\
\end{cases}
$$

と定義します。この写像Fが全単射であることを示します。

Bの要素ｂをとってきたときに、ｂが$${B^*}$$の要素ならg(b)を、bが$${B_*}$$の要素なら$${f^{-1}(b)}$$をとれば、この対応先はbになります。
Aの異なる二つの要素a, a*に対して、$${a, a* \in A^* もしくはa, a* \in A_*}$$なら、f、$${g^{-1}}$$が全単射であることより、F(a)とF(a*)は異なります。$${a \in A^*, a* \in A_*}$$ なら、F(a) $${\in B^*}$$ , F(a*) $${ \in B_*}$$ で、$${B^*, B_*}$$の定義から、この二つの両方に属すものは一つもないから、F(a)とF(a*)は異なります。
これで、Fが全単射であることが言えました。
AからBへの全単射が存在する事が言えたので、cardA = cardBが得られましたね。

３の証明だけ少しややこしかったですね。この証明でしていることは、Aからの写像ｆで取りこぼしたＢの要素を、Ａの要素をとってその対応先として取り換える。取り換えたことによってまた別のＢの要素がこぼれる。
それをまた別のＡの要素の対応先にする・・・というのを無限に繰り返して、無限の不思議なパワーでBの要素を全部埋める。ということをしています。
実数の集合Rから閉区間[0, 1]への単射な写像として、$${T(x) = \displaystyle{\frac1 2} + \displaystyle{\frac{tan^{-1}(x)}{\pi}} }$$
閉区間からRへの写像としてg(x)=xとして、
A＝R、B＝[0, 1]
f = T, g(x) = x として、$${\boxed{3}}$$の証明と同じ流れで全単射な写像を作ってみましょう。そうすると、濃度のお話２で出てきた写像（対応）と同じものが得られるはずです。　気になる人はやってみましょう。

ということで、濃度の間には順序、大小関係をつけることができました。しかし、すべての集合について、濃度の大小を比べられることはまだ保証されていません。これを証明するためには、zornの補題を証明して整列可能定理を証明し、順序集合の比較定理も証明しなければなりませんが、結果をいえば、成り立ちます。これで、濃度の大きさを自由に比べることができるようになるわけですね。もちろん、この濃度の大小は、個数のそれの拡張版となっています。
実は、さらに濃度の間に足し算、掛算、べき乗なども定義できます。
次の濃度のお話はそこらへんを話すつもりです。
長くなりましたね。ここまで読んでくれた方、ありがとうございます。