こんにちは。今回は数学3を履修した人なら何回も聞いた事のあるであろう、数列の極限について話したいと思います。

数列の極限を扱う際に、大学以降の数学では、
ε-N論法と言うものを使います。このε-N論法というのが、よく大学数学の最初の難関と呼ばれるぐらいには、初見の時に感じる難易度が高いです。まあ、百聞は一見にしかずということで、
実数列a_nが、n→∞で ある実数b に収束する（高校数学では、これを「nが限りなく大きくなる時に、a_nの値は限りなくbに近づく」とか言いましたね） ことの定義を下に書きたいと思います。
Nは自然数全体の集合とします。

∀ε>0, ∃m∈N, s.t. ∀n∈N, n≧m⇒|a_n - b|<ε

どうでしょうか。これを論理記号を使わずに書くと、「どんな正の数εに対しても、自然数mが存在して、  『m以上の全ての自然数nに対して、
|a_n - b|がε未満』  を満たす」

となります。初めて見た時は、「なんじゃそりゃ？」となる人が多数だと思います。 初見で「うん、そうだね！！」ってなった方は、おそらく数学のセンスがめっちゃ高いと思います。周りに自慢してください。

ということで、「nが限りなく大きくなる時に、a_nの値は限りなくbに近づく」から、
「どんな正の数εに対しても、自然数mが存在して、『m以上の全ての自然数nに対して、|a_n - b|<ε』を満たす」に変わる時のイメージを書いておきます。

①「nが限りなく大きくなる時に、a_nの値は限りなくbに近づく」
 ↓
②nが限りなく大きくなれば、a_nの値とbの値の差はいくらでも0に近づく
↓
③nが限りなく大きくなれば、|a_n - b|の値はいくらでも0に近づく
↓
④どんな正の数εに対しても、nが限りなく大きくなれば、|a_n - b|＜εを満たす
↓
⑤どんな正の数εに対しても、十分大きい自然数に対しては全て|a_n - b|<εを満たす。
↓
⑥どんな正の数εに対しても、ある自然数mが存在して、m以上のどんな自然数nに対しても、
|a_n - b|<εを満たす。

こんな感じですかね。もしこれで少しでもこの定義に納得できた方がいれば幸いです。

そもそも、なんで大学数学になっていきなりこんな定義になるの？って思う人もいるかもしれません。答えはシンプルで、定義は厳密で定量的でないといけないからです。
もし、数列の極限の定義が高校数学のままだと、
『a_nとb_nがそれぞれ極限値α、βを持つ時に、
数列（a_n +b_n）が極限値α+βを持つ』
という当たり前に感じることすら証明出来ません。数列a_n＝1/nが0に収束することも、確かに0に収束しそうだね〜·····ぐらいしか分かりません。そんなことになると、数学の話を進められないので、極限という概念に厳密な定義を与えたんですね。
ちなみに、これと似たようなもので、ε-δ論法というものがあって、これは関数の極限などに使われるものです。しかし、これも、数列の極限の定義のイメージを掴めていれば問題なく理解できると思います。

ε-N論法は、大学で数学を学ぶ人なら割と長い間使うことになると思うので、ε-N論法のイメージをつかめるようになるのは大事です。
もし、高校生で数学科をめざしている人がいれば、大学入る前にこれをマスターしておけばスムーズに数学を学べますよ！
この辺で終わりにします。ありがとうございました