微分方程式と数値解析

最初に書いておくが、ここには微分方程式・数値解析の、概要・重要性のことしか書かない。
このため、微分方程式・数値解析について深く知ることはできない。
中学生までの知識で、わかる内容としているためである。
微分方程式・数値解析について、より深く知りたい場合は、まずは高校で習う数学を学習していただきたい。

また、数値解析にはいろいろなものがあるが、ここでは微分方程式を解く場合に使われるものを、単に数値解析と呼ぶ。

微分方程式

概要

まずは方程式の復習をしよう。
例えば、
$${ 2x+3=5}$$
という、求めたいものが$${ x}$$の方程式を考える。
これは一次方程式と呼ばれ、これを解くと、
$${ x=1}$$
となる。
つまり一次方程式とは、求めたいものの関係を表した式である。
また、一次方程式からは求めたい値を求めることができる。
まとめると一次方程式とは、

• 求めたいものの関係を表した式

• 値を求める

というものである。
これら２点のことを、よく覚えていてもらいたい。

では、微分方程式とは何か。
方程式と名前につくように、なんらかの求めたいものの関係を表した式である。
これは一次方程式と同じだが、求められるものが異なる。
微分方程式で求められるものは、関数である。
つまり、求めたいものが$${ y}$$の微分方程式を解くと、
$${ y=2x+7,y=3x-8}$$
のような関係式を求めることができる。

重要性

微分方程式は方程式の中で、１番と言えるほど重要な方程式である。
この理由の１つとして、いろいろな物理現象を微分方程式を使って表すことができるからである。
例えば、微分方程式には運動方程式、マクスウェル方程式というものがある。
運動方程式は、運動に関する方程式である。
これを解くと、例えば物を投げたとき、どこに何秒後に落ちるか、さらに投げた物がどのような軌道になるかがわかる。
マクスウェル方程式は電気、磁気、電波に関する方程式である。
これを解くと、例えばどのように電波が飛んでいくかがわかる。
これらのように、微分方程式を解くと、いろいろな物理現象を理解することができるため、重要な方程式と言える。

特徴

微分方程式は、重要な方程式である。
これを解いて関係式を求められれば、いろいろなことがわかる。
ここで、微分方程式の取り上げたい特徴としては、ほとんどの微分方程式が解けないことである。
正確には、ほとんどの微分方程式から、
$${ y=2x+7}$$
のような関係式を求めることができない。
だが、やり方はある。
関係式は求められないが、近似されたグラフは求めることができる。

数値解析

概要

微分方程式に数値解析を使うと、パソコンなどのコンピューターを使って計算をし、近似されたグラフを求めることができる。
近似されたグラフからは、正確な値がわかるわけではない。
またコンピューターを使うため、必要な行程がある。
では、正確ではないグラフを求め、さらに必要な行程もある数値計算がどのように使われるのか。
この一例として、ものづくりで使われていることについて書く。

使用例

数値解析は、ものづくりの設計に使われている。
例えば、何か新しく作りたいものがあるとき、作りたいものの形状、大きさ、材質などを決め、作りたいものに必要な能力があるように作らなければならない。
このため、実際に作り実験が必要な場合がある。
しかし、数値計算を使うと形状、大きさ、材質などから必要な能力があるか、パソコン上で試すことができる。
このため、実際に作る必要がなくなる場合がある。
また、高価な材料を買う必要がなくなる場合もある。
これらから、実験の手間や材料代などのコスト削減につながる。

まとめ

ここでは、微分方程式・数値計算の概要・重要性について書いた。
ここを読んでわかって欲しいことは、微分方程式・数値解析の重要性である。
理由は微分方程式から、いろいろな物理現象を理解することができるからである。
また数値解析を使うと、コスト削減につながるからである。

ここでは、微分方程式・数値解析の重要性を知っていただきたい。