世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑭積分の計算方法(3)

不定積分は、微分と逆の計算の関係となることから、 $${ y=x^2,y=1}$$ の不定積分をすると、 $${\displaystyle \int{x^2dx}=\dfrac{1}{3}x^3+C}$$ $${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$ となり、このとき積分定数である$${ C}$$が必要となります。 しかし、普通はこのような方法で不定積分をしません。 不定積分の公式を使います。 今回は、不定積分の計算でよく使われる不定積分の公式の紹介と証明

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑬積分の計算方法(2)

微分と不定積分は逆の計算の関係となり、 $${ \displaystyle y \xtofrom[xで不定積分をする]{xで微分をする} \dfrac{ d y}{ d x}}$$ のように表すことができます。 また、 $${ y}$$を$${ x}$$で不定積分するを、 $${\displaystyle \int{ydx}}$$ のように数式で表します。 今回は具体例として、 $${ y=x^2,y=1}$$ のような$${y}$$が二次式、定数の場合の不定積分につい

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑫積分の計算方法(1)

前回までで、 $${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$ のような多項式について、 $${ y}$$を$${ x}$$で微分する と、 $${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=6x^2-6x+4}$$ となることがわかりました。 今回から、積分の計算方法について書きます。 積分には、不定積分と定積分と呼ばれる２種類あります。 まずは、この不定積分について書いていきます。 不定積分を理解するためには、微分の計算ができる必要があります。 今回以

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑪微分の計算方法(6)

微分は$${ n=2,3,4, \cdots}$$、$${ a}$$を定数とした場合、 $${ y=x^n}$$ のときは微分の公式を使い、 $${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=nx^{n-1}}$$ となり、 $${ y=x}$$ のような一次式のとき、 $${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=1}$$ となり、 $${ y=a}$$ のような定数のとき、 $${\displaystyle \dfrac{

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑩微分の計算方法(5)

変化の割合や$${ \Delta x}$$を$${ 0}$$に限りなく近づけるという計算により、$${ a}$$を定数として、 $${y=x^2,y=x,y=a}$$ の微分をすると、 $${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=2x,\dfrac{ d y}{ d x}=1,\dfrac{ d y}{ d x}=0}$$ のように微小変化が求められます。 しかし、普通はこのような方法で微分をしません。 微分の公式を使います。 今回は、微分の計算で

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑨微分の計算方法(4)

微分は、変化の割合をグラフの式を使って$${ x,\Delta x}$$で表し、$${ \Delta x}$$を$${ 0}$$に限りなく近づけるという計算をして微小変化を求めます。 今回はこのような計算により、具体的にどのようにして微小変化を求めるのか解説します。 具体例として、$${ a}$$を定数とし、 $${y=x^2,y=x,y=a}$$ のような$${ y}$$が二次式、一次式、定数の場合の微小変化を求めます。 以下では、$${ a}$$を定数とします。 微分の

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑧微分の計算方法(3)

微分の計算には変化の割合、横幅をゼロに限りなく近づけるという考え方を使います。 今回は、これらを使ってどのように考え、微分によりかなり小さい変化の計算をするのか解説します。 以下では、前回と同じようにグラフを使います。ここでも前回と同じように横軸を$${ x}$$、縦軸を$${ y}$$とします。 また横方向を$${ x}$$方向、縦方向を$${ y}$$方向と言います。 微分の計算方法次の、 のように青い点が黒線上を動き、赤い点の場所まで動いた場合を考えます。 以下で

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑦微分の計算方法(2)

微分の計算方法を理解するためには、変化の割合を理解する必要があります。 この変化の割合は、増加量から求められます。 また、この微分の計算ではギリシャ文字である$${ \Delta}$$がよく使われます。 これらから今回は変化の割合、増加量、デルタについて解説します。 以下では、前回と同じようにグラフを使います。 ここでも前回と同じように横軸を$${ x}$$、縦軸を$${ y}$$とします。 また横方向を$${ x}$$方向、縦方向を$${ y}$$方向と言います。 今回の

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑥微分の計算方法(1)

微分・積分を使うと、それぞれかなり小さな変化・いろいろな面積を求めることができます。 また微分・積分はグラフで考える、横幅をゼロに限りなく近づけると考えるという考え方を使います。 微分でこれらの考え方を使い、どのようにしてかなり小さな変化を求めるのかについて書きます。 具体的に、 $${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$ の微分ができるようになることを最終目標とします。 このため今回は、今後の解説のために使う数学の用語を解説します。 また中二を対象としているため、今後の

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑤積分の考え方

前回は、微分は変化をグラフで考える、横幅をゼロに限りなく近づけると考えるという考え方により、かなり小さな変化を求めると書きました。 今回は、積分はどのような考え方をして、いろいろな面積を求めるのかについて書きます。 今回も、グラフで考える、横幅をゼロに限りなく近づけると考えるという考え方を使います。 いろいろな面積とは何か積分により、いろいろな面積を求めることができます。 このいろいろな面積とは、複雑な形の面積も含みます。 ここでは、簡単な面積の求め方と複雑な形とはどのよう

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－④微分の考え方

微分・積分を使うと、それぞれかなり小さな変化・いろいろな面積を求めることができます。 ここでは、微分はどのような考え方をして、かなり小さな変化を求めるのかについて書きます。 グラフによる変化の考え方微分により、かなり小さな変化を求めることができます。 まずは、この変化とはグラフではどのように表すことができるか考えてみましょう。 次の、 のように、青い点を赤い点の場所まで動かした場合を考えてみましょう。 以下では、この青い点を動かすとき必ず黒線上を動くとします。 また、

次が、まだ完成しない 気長に待って欲しいなーという願望