前提知識

リーマン幾何学(縮約やテンソル、計量など)

1.導出その1

簡単のため,

$$
\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i},
\partial_i^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^i}\\
\partial_{ij}=\frac{\partial^2}{\partial x^i \partial x^j},
\partial_{jk}^{i'}=\frac{\partial^2 x^{i'}}{\partial x^j \partial x^k}
$$

のように略記する.
$${g_{ij}=g_{i'j'}\partial_i^{i'} \partial_j^{j'}}$$より,両辺$${x^k}$$で偏微分するとライプニッツルールから,

$$
\partial_k g_{ij} 
\\= g_{i'j'} \partial_{ki}^{i'} \partial_j^{j'} + g_{i'j'} \partial_i^{i'} \partial_{jk}^{j'} + (\partial_k  g_{i'j'}) \partial_i^{i'} \partial_j^{j'}
\\=g_{i'j'} (\partial_i^{i'} \partial_{jk}^{j'} + \partial_j^{j'}\partial_{ik}^{i'})…(1)
$$

こうすると見やすくなり,計量を偏微分する文字を二階微分の右側に追いやった後,計量の文字を入れ替えて足したものだと分かる.
(フリーの)添字をサイクリックに入れ替えると同様に,

$$
\partial_i g_{jk} 
=g_{i'j'} (\partial_j^{i'} \partial_{ki}^{j'} + \partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'})…(2)\\

\partial_j g_{ki} 
=g_{i'j'} (\partial_k^{i'} \partial_{ij}^{j'} + \partial_i^{j'}\partial_{kj}^{i'})…(3)\\
$$

(2),(3)を辺々加えると,

$$
\partial_i g_{jk} +\partial_j g_{ki}
\\= g_{i'j'} (\partial_j^{i'} \partial_{ki}^{j'} + 2\partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'}+\partial_i^{j'}\partial_{kj}^{i'})
\\=2g_{i'j'}\partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'}+g_{i'j'} (\partial_i^{i'} \partial_{jk}^{j'} + \partial_j^{j'}\partial_{ik}^{i'})
\\=2g_{i'j'}\partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'}+\partial_k g_{ij} (\because(1))
$$

よって,$${\partial_k g_{ij}}$$を移項し,両辺を2で割ることにより,

$$
g_{i'j'}\partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'}=\frac12(\partial_i g_{jk} +\partial_j g_{ki}-\partial_k g_{ij} )
$$

を得る.$${g_{i'j'}}$$が邪魔だから両辺に$${g^{kl}}$$(逆行列)を掛けて縮約すると,

$$
\frac12{g^{kl}}(\partial_i g_{jk} +\partial_j g_{ki}-\partial_k g_{ij} )
\\=g^{kl}g_{i'j'}\partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'}
\\=g_{mn}\partial_{i'}^m\partial_{j'}^n\partial_k^{j'}g^{kl}\partial_{ji}^{i'}
\\=g_{mn}\partial_{i'}^m\delta_k^ng^{kl}\partial_{ji}^{i'}
\\=g_{mk}g^{kl}\partial_{i'}^m\partial_{ji}^{i'}
\\=\delta_m^l\partial_{i'}^m\partial_{ji}^{i'}
\\=\partial_{i'}^l\partial_{ij}^{i'}
$$

これ($${\partial_{i'}^l\partial_{ij}^{i'}}$$)を第2種クリストッフェル記号と呼び,しばしば$${\Gamma^l_{ij}(=\frac12{g^{kl}}(\partial_i g_{jk} +\partial_j g_{ki}-\partial_k g_{ij} ))}$$のように書かれる.
(ちなみに,第1種記号は縮約前の$${g_{i'j'}\partial_k^{j'}\partial_{ji}^{i'}}$$だ.同様に$${\Gamma_{ij,k}(=\frac12(\partial_i g_{jk} +\partial_j g_{ki}-\partial_k g_{ij} )}$$と書かれる.)

さて,覚え方は見てわかるように,文字をサイクリックに並べたものを足し合わせ,縮約(第2種)もしくは偏微分(第1種)する文字(今回はどちらもk)が先頭に来たときマイナスをつけるだけだ.(3!=6通り無いのは計量テンソルが対称行列であることから明らかである!)

なぜ,このようにΓで定義し直すのかはここでは詳しくは語らないが,  '  が入っていると不都合が生じるからである.