abstract　Levy分布の特性関数の導出を紹介します。また、特性関数から再生性を示します。

1　Introduction

$${Z}$$ を標準正規分布に従う確率変数とするとき、$${X=1/Z^2}$$ が従う確率分布を標準Levy分布 $${Levy(0,1)}$$ というのでした。また $${Y=a+bX}$$, $${b>0}$$ が従う確率分布をLevy分布 $${Levy(a,b)}$$ というのでした。

Levy分布は $${k=1,2,3,\cdots}$$ 次のモーメント $${\mathbb{E}[Y^k]}$$ がすべて正の無限大に発散し、モーメント母関数を持ちません。しかし、特性関数なら存在します。そこで、このnoteでは特性関数を導出します。特性関数の導出では複素Gauss積分が活躍します。また特性関数を導出することで、Levy分布が再生性を持つこともわかります。

2　特性関数と再生性

2.1　特性関数

Levy分布の特性関数は以下のように与えられます。

定理　標準Levy分布 $${Levy(0,1)}$$ の特性関数 $${\phi_{X}(t)}$$ は以下のようになります。

$$
\begin{align*}
\phi_{X}(t) &= \exp\left(-|t|^{1/2}(1-i\mathrm{sgn}(t))\right)
\end{align*}
$$

なお、このことを用いれば、一般の場合のLevy分布 $${Levy(a,b)}$$ の特性関数は次のようにして計算できます。以下、$${Y=a+bX\sim Levy(a,b)}$$ です。

$$
\begin{align*}
\phi_{Y}(t) &= \mathbb{E}[\exp(it(a+bX))]\\
&= \exp(ita)\phi_{X}(bt)\\
&= \exp(ita)\exp\left(-|bt|^{1/2}(1-i\mathrm{sgn}(bt))\right)\\
&= \exp\left(ita-b^{1/2}|t|^{1/2}(1-i\mathrm{sgn}(t))\right)
\end{align*}
$$

ここで、4行目には $${b>0}$$ であることを用いました。

2.2　再生性

特性関数を用いることで、Levy分布が再生性を持つことがわかります。

定理　二つの確率変数 $${X_1, X_2}$$ が独立に $${ Levy(a_1,b_1), Levy(a_2,b_2)}$$ に従っているとき、$${X_1+X_2\sim Levy\left(a_1+a_2, \left({b_1}^{1/2}+b_2^{1/2}\right)^2\right)}$$ が成り立ちます。

証明　$${X_1+X_2}$$ の特性関数 $${\phi_{X_1+X_2}(t)}$$ を求めます。

$$
\begin{align*}
\phi_{X_1+X_2}(t) &= \phi_{X_1}(t)\phi_{X_2}(t)\\
&= \exp\left(it(a_1+a_2)-\left(b_1^{1/2}+b_2^{1/2}\right)|t|^{1/2}(1-i\mathrm{sgn}(t)\right)
\end{align*}
$$

以上から $${X_1+X_2\sim Levy\left(a_1+a_2, \left({b_1}^{1/2}+b_2^{1/2}\right)^2\right)}$$ が従います。■

3　特性関数の導出

ここでは複素積分を用いて地道に特性関数を計算する方法を紹介します。なお、Levy分布が逆ガンマ分布の特殊な形であることを参考に、第二種変形Bessel関数の性質から導出する方法もあります。

3.1　証明に必要な積分の公式

以下の積分公式を準備しておきます。これは複素Gauss積分を用いて証明できます。

定理　$${\alpha}$$ を実部が正の複素数とします。このとき、以下の公式が成り立ちます。

$$
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\exp\left[-\alpha\right]
\end{align*}
$$

証明　積分区間を $${[0,1]}$$ と $${[1,\infty)}$$ に分割したあと、$${\displaystyle u=w-\frac{1}{w}}$$ で置換します。ここで、$${\displaystyle du=\left(\frac{1}{w^2}+1\right)dw}$$ に注意します。

$$
\begin{align*}
&\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw\\
&= \int_{0}^{1}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw+\int_{1}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw\\
&= \int_{1}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]\left(\frac{1}{w^2}+1\right)dw\\
&= \exp\left[-\alpha\right]\int_{1}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w-\frac{1}{w}\right)^2\right]\left(\frac{1}{w^2}+1\right)dw\\
&= \exp\left[-\alpha\right]\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha u^2\right]du\\
\end{align*}
$$

あとは、複素Gauss積分

$$
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha u^2\right]du &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}
\end{align*}
$$

と組み合わせることで、

$$
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\exp\left[-\alpha\right]
\end{align*}
$$

が従います。■

3.2　特性関数の定理の証明

$${t>0}$$ の場合で計算し、あとで以下の性質を用いて、実数全体の式に拡張します。

$$
\phi_{X}(t)=\mathbb{E}[\exp(itX)]=\mathbb{E}\left[\overline{\exp(-itX)}\right]=\overline{\mathbb{E}[\exp(-itX)]}=\overline{\phi_{X}(-t)}
$$

第1節の標準Levy分布の定義から、特性関数は次のように計算できます。ここで、$${Z}$$ は標準正規分布に従う確率変数です。

$$
\begin{align*}
\phi_{X}(t) &= \mathbb{E}[\exp(itX)]\\
&=  \mathbb{E}[\exp(it/Z^2)]\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(it\frac{1}{z^2}\right)\times\exp\left[-\frac{1}{2}z^2\right]dz\\
&= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}z^2+it\frac{1}{z^2}\right]dz\\
\end{align*}
$$

Cauchyの積分定理を用いて、積分路を複素平面上で以下のような経路に変更します。ここで、$${z=0}$$ では被積分関数が真性特異点を持つため、迂回するような経路を取ります。

二つの円弧 $${C_{0},C_{\infty}:z=Re^{i\theta}}$$ の上では、どちらでも積分が $${0}$$ に収束します。実際、以下のような不等式評価の後で極限 $${R\rightarrow0, \infty}$$  を取ることでわかります。なお、5式めでは $${\cos2\theta\geq -\sqrt{2}/2}$$, $${\sin2\theta\leq0}$$ を用いて被積分関数を上から抑えています。

$$
\begin{align*}
&\left|\int_{C}\exp\left(-\frac{1}{2}z^2+it\frac{1}{z^2}\right)dz\right|\\
&\leq \left|\int_{-\frac{\pi}{8}}^{0}\exp\left(-\frac{1}{2}R^2(\cos2\theta+i\sin2\theta)+it\frac{\cos2\theta-i\sin2\theta}{R^2}\right)iRe^{i\theta}d\theta\right|\\
&\leq \int_{-\frac{\pi}{8}}^{0}\left|\exp\left(-\frac{1}{2}R^2(\cos2\theta+i\sin2\theta)+it\frac{\cos2\theta-i\sin2\theta}{R^2}\right)iRe^{i\theta}\right|d\theta\\
&\leq \int_{-\frac{\pi}{8}}^{0}\exp\left(-\frac{1}{2}R^2\cos2\theta+t\frac{\sin2\theta}{R^2}\right)Rd\theta\\
&\leq \frac{\pi}{8}R\exp\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}R^2\right)\\
&\rightarrow 0
\end{align*}
$$

従って、計算したい積分の値は $${-\pi/8}$$ だけ傾いた直線 $${L:z=\sqrt{1-i}\sqrt[4]{t}w}$$ 上で積分した値と一致します。

$$
\begin{align*}
&\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}z^2+it\frac{1}{z^2}\right]dz\\
&= \int_{L}\exp\left[-\frac{1}{2}z^2+it\frac{1}{z^2}\right]dz\\
&= \sqrt{1-i}\sqrt[4]{t}\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}(1-i)\sqrt{t}\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw
\end{align*}
$$

あとは3.1節に掲げた公式から分かる以下の値

$$
\begin{align*}
&\int_{0}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}(1-i)\sqrt{t}\left(w^2+\frac{1}{w^2}\right)\right]dw\\
&= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{(1-i)\sqrt{t}}}\exp\left(-(1-i)\sqrt{t}\right)
\end{align*}
$$

を組み合わせることで、$${t>0}$$ の範囲で特性関数が求まります。

$$
\begin{align*}
\phi_{X}(t) &= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\times\sqrt{1-i}\sqrt[4]{t}\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{(1-i)\sqrt{t}}}\exp\left(-(1-i)\sqrt{t}\right)\\
&= \exp\left(-(1-i)\sqrt{t}\right)
\end{align*}
$$

$${t<0}$$ の場合は、

$$
\phi_{X}(t)=\overline{\phi_{X}(-t)}=\exp\left(-\sqrt{|t|}\right)\exp\left(-i\sqrt{|t|}\right)=\exp\left(-(1+i)\sqrt{|t|}\right)
$$

が成り立ちます。以上の議論をまとめると、実数全体では特性関数が以下のようになることがわかります。

$$
\phi_{X}(t)=\exp\left(-|t|^{1/2}(1-i\mathrm{sgn}(t))\right)
$$

Remark　安定分布の特性関数（Levy-Khintchine表現）から、Levy分布は $${\alpha=1/2, \beta=1}$$ の安定分布 $${S(1/2,1,b,a)}$$ だとわかります。特に片側安定分布の一種でもあります。■

Acknowledgement

日頃からサポートしていただいている方々、株式会社すうがくぶんかの皆さんに感謝申し上げます。また、注意深いコメントを畳屋民也さま、すうがくぶんかの会沢先生、井汲先生、斎藤先生にいただきました。ありがとうございます。