abstract　相補誤差関数とGauss関数は、それぞれ正規分布の裾確率と確率密度関数として知られています。このnoteでは、相補誤差関数をGauss関数で上・下から抑える不等式を紹介します。

1　Introduction

$${g_{a,b}(x)=a\exp(-bx^2)}$$, $${a,b>0}$$ をGauss関数（Gaussian function）といいます。そして、$${a=1, b=1}$$ の場合のGauss関数を区間 $${[x,\infty)}$$ で積分したもの

$$
\begin{align*}
\operatorname{erfc}(x) &:= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}\exp(-t^2)dt
\end{align*}
$$

を相補誤差関数（complementary error function）といいます。なお係数 $${\displaystyle\frac{2}{\sqrt{\pi}}}$$ は $${\operatorname{erfc}(0)=1}$$ にするためのものです。このことはGauss積分から確認できます。

Gauss関数は正規分布の確率密度関数として、相補誤差関数は正規分布の裾確率として用いられています。実際に標準正規分布の場合には、確率密度関数 $${f(x)}$$ と裾確率 $${Q(x)}$$ はそれぞれ以下のように表せます。

$$
\begin{align*}
f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}x^2\right)\\
Q(x) &= \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)
\end{align*}
$$

Gauss関数と相補誤差関数は、このように統計学で重要な役割を果たします。そこでこのnoteでは、相補誤差関数をGauss関数で抑えるような不等式を紹介します。

Remark　今回の結果は劣Gauss分布（subgaussian distribution）の裾確率に関係した不等式です。■

2　相補誤差関数とGauss関数

相補誤差関数は以下のように、Gauss関数を用いて上からも下からも抑えることができます。

定理　$${x\geq 0}$$ のとき、以下の不等式が成り立ちます。

$$
\begin{align*}
\sqrt{\frac{e}{2\pi}}\exp(-2x^2) \leq \operatorname{erfc}(x) \leq \exp(-x^2)
\end{align*}
$$

第3節では左の不等式、第4節では右の不等式を証明します。

3　Gauss関数≦相補誤差関数の証明

次の関数 $${g(x)}$$ が $${0}$$ 以上であることを示せば十分です。これは $${y=g(x)}$$ のグラフをかくことで確認することができます。

$$
\begin{align*}
g(x) &:= \operatorname{erfc}(x)-\sqrt{\frac{e}{2\pi}}\exp(-2x^2)
\end{align*}
$$

関数 $${g(x)}$$ のグラフをかくために導関数 $${g'(x)}$$ を求めます。

$$
\begin{align*}
g'(x) &= -\frac{2}{\sqrt{\pi}}\exp(-x^2) + 4x\sqrt{\frac{e}{2\pi}}\exp(-2x^2)\\
&= -\frac{2}{\sqrt{\pi}}\exp(-x^2)\left(1-\sqrt{2e}x\exp(-x^2)\right)
\end{align*}
$$

ここで関数 $${u(x)=x\exp(-x^2)}$$ は、導関数が

$$
\begin{align*}
u'(x) = \exp(-x^2) - 2x^2\exp(-x^2) = (1-2x^2)\exp(-x^2)
\end{align*}
$$

なので、$${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$ で最大値 $${\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2e}}}$$ を取ることに注意します。従って $${g'(x)\leq 0}$$ が成り立ち、関数 $${g(x)}$$ が単調減少であることがわかります。

あとは、$${g(0)=\displaystyle 1-\sqrt{\frac{e}{2\pi}}}$$ かつ $${\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0}$$ なので、グラフは以下のようになることがわかり、$${g(x)\geq 0}$$ がわかります。

4　相補誤差関数≦Gauss関数の証明

次の関数 $${h(x)}$$ が $${0}$$ 以上であることを示せば十分です。第3節と同様に、これは $${y=g(x)}$$ のグラフをかくことで確認することができます。

$$
\begin{align*}
h(x) &:= \exp(-x^2) - \operatorname{erfc}(x)
\end{align*}
$$

関数 $${h(x)}$$ のグラフをかくために導関数 $${h'(x)}$$ を計算します。

$$
\begin{align*}
h'(x) &= -2x\exp(-x^2) + \sqrt{\frac{2}{\pi}}\exp(-x^2)\\
&= (-2x + 1)\exp(-x^2)
\end{align*}
$$

このことから、$${0\leq x\leq 1/2}$$ では単調増加、$${x>1/2}$$ では単調減少するような関数であることがわかります。さらに $${h(0)=0}$$ かつ $${\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}h(x)=0}$$ なので、グラフは以下のようになり、$${h(x)\geq 0}$$ であることがわかります。 

Acknowledgement

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