座標平面上で, 点$${(s,t)}$$から放物線$${y=x^2-3x-2}$$へ異なる2本の接線が引けるとき, 接点を$${A,B}$$とする. ただし, $${x}$$座標が大きい方を$${A}$$とする.
(1) $${A,B}$$の$${x}$$座標を$${s,t}$$を用いて表せ.
(2) 線分$${AB}$$の長さ$${L}$$を$${s,t}$$を用いて表せ.
(3) $${(s,t)}$$が直線$${y=-3x-2}$$の上を動くとき, $${s\ge{1}}$$での$${L}$$の最小値を求めよ.

解答
(1)
$${y^{\prime}=2x-3}$$だから, 放物線上の点$${p,p^2-3p-2}$$における接線の方程式は,
$${y=(2p-3)(x-p)+p^2-3p-2=(2p-3)x-p^2-2}$$
と表せる.
これが点$${(s,t)}$$を通るから
$${t=(2p-3)s-p^2-2}$$
これを$${p}$$についての2次方程式として整理すると,
$${p^2-2sp+3s+t+2=0}$$
よって, 接点の$${x}$$座標はこれを解いて
$${p=s\pm{\sqrt{s^2-(3s+t+2)}}}$$
いま, $${x}$$座標の大きい方が$${A}$$なので, $${A,B}$$の$${x}$$座標はそれぞれ
$${A: s+\sqrt{s^2-3s-t-2}, B: s-\sqrt{s^2-3s-t-2}}$$である.

(2)
点$${A,B}$$の座標を$${A(A_x,A_y),B(B_x,B_y)}$$とおく.
また, $${\sqrt{s^2-3s-t-2}=u}$$とおく. $${u}$$は正の実数であるとする.
このとき,
$${A_x=s+u, A_y=(s+u)^2-3(s+u)-2=s^2+2su+u^2-3s-3u-2}$$
$${B_x=s-u, B_y=(s-u)^2-3(s-u)-2=s^2-2su+u^2-3s+3u-2}$$であり,
$${L=\sqrt{(B_x-A_x)^2+(B_y-A_y)^2}}$$である.
ここで,
$${B_x-A_y=2u}$$より, $${(B_x-A_x)^2=4u^2}$$
$${B_y-A_y=-4su+6u}$$より, $${(B_y-A_y)^2=4u^2(9-12s+4s^2)}$$だから
$${L=\sqrt{4u^2(10-12s+4s^2)}}$$
$${=2\sqrt{2(s^2-3s-t-2)(2s^2-6s+5)}}$$

(3)
$${t=-3s-2}$$を$${s^2-3s-t-2}$$に代入すると,
$${s^2-3s-t-2=s^2-3s-(-3s-2)-2=s^2}$$だから,
$${L=2\sqrt{2s^2(2s^2-6s+5)}}$$となる.
ここで, $${f(s)=s^2(2s^2-6s+5)}$$とおくと,
$${f^{\prime}(s)=2s(2s^2-6s+5)+s^2(4s-6)}$$
$${=2s(2s^2-6s+5)+2s(2s^2-3s)}$$
$${=2s(4s^2-9s+5)}$$
$${=2s(s-1)(4s-5)}$$
より, $${f(s)}$$の増減表は以下となる.

$$
\begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c}
s & & 0 & & 1 & & \frac{5}{4} & \\
f^{\prime}(s) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\
f(s) & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\
\end{array}
$$

よって, $${s\ge{1}}$$において$${f(s)}$$が最小となるのは$${s=\frac{5}{4}}$$のときであり,
その値は$${f(\frac{5}{4})=(\frac{5}{4})^2(\frac{25}{8}-\frac{15}{2}+5)}$$
$${=(\frac{5}{4})^2(\frac{5}{8})}$$
となる.
したがって, $${L}$$の最小値は
$${L=2\sqrt{2(\frac{5}{4})^2(\frac{5}{8})}= \dfrac{5\sqrt{5}}{4}}$$である.