正四面体$${ABCD}$$において, 辺$${AB}$$の中点を$${E}$$, 辺$${AC}$$を$${3:1}$$に内分する点を$${F}$$, 辺$${AD}$$を$${1:3}$$に内分する点を$${G}$$とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 三角形$${AEF}$$の面積と三角形$${AFG}$$の面積の比を求めよ.
(2) 三角形$${AEF}$$の面積と三角形$${EFG}$$の面積の比を求めよ.

解答
(1)
正四面体の一辺の長さを$${l}$$とし, $${\triangle{AEF}}$$の面積を$${S(AEF)}$$と表すこととする.
$${\triangle{AEF}}$$について, $${AE=\frac{l}{2}, AF=\frac{3l}{4}, \angle{EAF}=\frac{\pi}{3}}$$だから,
$${S(AEF)=\frac{1}{2}•\frac{l}{2}•\frac{3l}{4}•\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{3\sqrt{3}l^2}{32}}$$
同様に$${\triangle{AFG}}$$について考えると
$${S(AFG)=\frac{1}{2}•\frac{3l}{4}•\frac{l}{4}•\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{3\sqrt{3}l^2}{64}}$$
よって求める面積比は
$${S(AEF):S(AFG)=\frac{3\sqrt{3}l^2}{32}:\frac{3\sqrt{3}l^2}{64}=2:1}$$である

(2)
$${\triangle{EFG}}$$の各辺の長さを考える.
$${\triangle{AEF}}$$に対して余弦定理を用いると,
$${{EF}^2={AE}^2+{AF}^2-2•{AE}•{AF}•\cos{\frac{\pi}{3}}}$$より
$${{EF}^2=(\frac{l}{2})^2+(\frac{3l}{4})^2-2•\frac{l}{2}•\frac{3l}{4}•\frac{1}{2}}$$
$${=\frac{l^2}{2^2}+\frac{9l^2}{2^4}-\frac{3l^2}{2^3}}$$
$${=\frac{7}{2^4}l^2}$$
$${\therefore EF=\frac{\sqrt{7}}{4}l}$$
同様に考えて,
$${{FG}^2=\frac{9l^2}{4^2}+\frac{l^2}{4^2}-\frac{3l^2}{4^2}}$$より$${FG=\frac{\sqrt{7}}{4}l}$$
$${{EG}^2=\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{4^2}-\frac{l^2}{8}}$$より$${EG=\frac{\sqrt{3}}{4}l}$$
となる.
これにより$${\triangle{EFG}}$$は$${EF=GF}$$の二等辺三角形であることが分かったので,
$${S(EFG)=\frac{1}{2}•\frac{sqrt{3}l}{4}•\sqrt{\frac{7l^2}{16}-\frac{3}{64}l^2}=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{4}l•\frac{5}{8}l=\frac{5\sqrt{3}l^2}{64}}$$
よって求める面積比は
$${S(AEF):S(EFG)=\frac{3\sqrt{3}l^2}{32}:\frac{5\sqrt{3}l^2}{64}=6:5}$$である.