中学受験を経験し、７０以上の偏差値も取ったことがある私には、定期的に父からネットや動画で見かけた数多ある問題を挑戦状と称して投げつけられる。

今日もまた、家庭教師から帰宅した私に父から挑戦状が投げられた。

父「今年の開成中学の入試問題で算数の大問５の（４）が難しかったらしいから解いてみろ〜」

話を聞くと、どうやら件の問題を出来るかできないかで合否が分かれたらしい。

そんなに難しい問題ならば俄然やる気が出るというもの、私は意気揚々とPCとにらめっこをすることにしたのだ。

私の最初の印象は、ぱっと見普通の受験問題に見えたということだ。こんな問題が難しいのだろうか？と首を傾げながら問題を説いていった。

結果、私はものの数分で解き終わり、大問5で埋めるべき（ア）〜（キ）の全問をノーミスで解くことができた。
正直この程度の問題すらできない受験生がいるのかと呆れてしまったが、この問題を解いている中で気付いたこともいくつかあった。
ここからは、問題を解説したのち、どうして大問５の（４）で合否が分かれるに至ったのかを考察していこうと思う。

大問５の解説

（１）の解説

（１）の問題は、１の位、１０の位でそれぞれどの組み合わせがあるのかが説明文に記載されている。あとはそのまま計算をするだけ答えが出る。
　５×６=３０
（ア）の答えは３０になる。

（２）の解説

（２）の問題は、（１）が理解できたことを前提として解けるように作られている。
先ほど足すと９６になる組み合わせが３０通りある、ということが分かったと思うが、それは位が一つ上に上がっても変わらないということに気付けるかが（イ）を正答するポイントになる。
そこから、１の位の計算が１１になる組み合わせの４通りと掛け合わせることで９７１になる数字の組み合わせが何通りかが分かり（ウ）の正答を導き出せる。
　３０×４=１２０
よって答えは（イ）３０　（ウ）１２０　となる。

（３）の解説

（３）の問題はこれまでの問題の答えを参考に解答を導き出していくことになる。
１の位を足した数の組み合わせが２と１２の２つのパターンがあり、それぞれで１０の位より上の数字の組み合わせが変わっていく。
・１２のパターンの場合、AとBの１の位の数字の組み合わせは表を見ると３通りあることが分かる。残りの数は９６０であり、AとBの組み合わせは（２）の問題を解いたことで３０通りあることが分かっている。それにより
　３×３０=９０
このパターンでは９０通りあることがわかる。
よって答えは（エ）９０　となる。

・２のパターンの場合、AとBの１の位の数字はそれぞれ１の組み合わせしかないため、残りの数字９７０の組み合わせを考えればそのままその数がこのパターンの組み合わせの総数となる。
まず１０の位が７になる組み合わせは
　１と６
　２と５
　３と４
　４と３
　５と２
　６と１
の６通りとなることが分かる。
さらに１００の位が９になる組み合わせは
　２と７
　３と６
　４と５
　５と４
　６と３
　７と２
の６通りになる。
つまり９７０になる組み合わせは
　６×６=３６
となり、足して９７２になる組み合わせは３６通りとなる。
よって答えは（オ）３６　となる。

最終的な合計は
　９０+３６=１２６
となるため、すべてのパターンの合計は１２６通りとなる。
よって答えは（カ）１２６　となる。

多分ここまでは時間をかければ誰でも簡単にわかる問題だと思う。
この後の問題が合否を分ける問題なわけだが、まずは解答の解説からしていこうと思う。

（４）の解説

（４）は、いままでの問題をしっかり理解していれば自ずと答えが出るように作られている。
まず、足すと９７２３になる組み合わせを考えていく。

１の位は繰り上がりがあるパターンの１３、繰り上がりがないパターンの３という２つの組み合わせが存在する。
・１の位が３の場合
１０の位は繰り上がりのある１２，繰り上がりのない２の２つのパターンがある。
さらにそこから、１２の場合は１００、１０００の位が９６。２の場合は９７という風に組み合わせが分かる。
よってこのパターンでは
１の位　３　１０の位　１２　残りの位　９６　・・・①
と
１の位　３　１０の位　２　　残りの位　９７　・・・②
という２つのパターンが存在する。　

・１の位が１３の場合
この場合、１０の位は１と１１の２つのパターンがある。だが、ここで思い出してほしいのは８，９，０を使う数字はA、Bには該当しないということだ。
よって１と０、０と１の組み合わせになる１は除外され、１１のみを考えることになる。
１０の位が１１の場合、残りの位の数字は９６になるため、最終的な組み合わせは
１の位　３　１０の位　１１　残りの位　９６　・・・③
というパターンになる。

あとはそれぞれのパターンの組み合わせがいくつあるかを確認し、全てかけていけばそれぞれ何通りあるのかを計算することができる。

①のパターン
２×３×３０=１８０

②のパターン
２×１×３６=７２

③のパターン
２×４×３０=２４０

これらの合計が、（４）の解答となる。
１８０+７２+２４０=４９２
４９２通りとなるため、答えは（カ）４９２　となる。

なぜこの問題が合否を分けると言われたのか

これらを解いた際、私はこの問題の性質をしっかり把握していれば間違いなく解けるはずという印象を受けた。
だが実際はこの問題が合否を分けるとまで言われている。

それはなぜか。

私はそれを点数的な要因、学校の求める生徒像による要因のふたつの原因があると考えている。

①点数的な要因

まず点数的な要因だが、これはこの大問５の問題の前提として、「８，９，０を使う数字はAとBに該当しない」という条件にあると考えた。
この問題は、問題文を正しく理解し、表から必要な情報を抜き出すことさえできていれば（１）から（３）まではつつがなく解答を勧めることができる。

しかしだからこそ、すべて一人でやらなければならない（４）では、そもそもの条件である「８，９，０を使う数字はAとBに該当しない」というルールを忘れがちなのではないだろうか。
実際、私もそれを失念していたため、（４）で１の位が１３だった場合に１０の位が１のパターンだと残りの組み合わせはどうなるかまで考えてしまっていた。

勿論私は途中でその事実に気付き、このパターンを考える必要はないという結論を出して計算を勧めたのだが、本来これは受験で解く問題。受験という緊張が極限状態になっている環境で、問題をちゃんと読みなおし、そこからこのパターンは必要ではないという冷静な判断をできるだろうかというところが、この問題の肝なのだと私は思っている。

また、この問題の性質は、ちゃんとすべてを理解していれば最終的に少し頭を使う問題でも問題なく解けるという性質になっている。
つまり、前の問題で何かしらのミスをしていた場合、その後の問題はすべて芋づる式に間違えていくということだ。計算ミスをしていたら全てがくるってしまうだろう。
さらに言えば、今までの問題が最後の（４）を解くカギになっていることに気付けなければ、どう解けばいいかわからずあたふたとすることだろう。
問題同士の関係性に気付けるかどうかもまた、合否を分ける点になっていたと私は考える。

②学校の求める生徒像による要因

今までは点数的な要因だったが、私はこの問題の性質から学校の求める生徒像が垣間見えると考えている。

先ほども述べたように、この問題は前の問題を理解していれば必ず解けるという性質を持っている。つまり、公式や解答の丸暗記など必要ない問題だということだ。
解き方は問題の中に書かれており、その関係性を理解さえできれば誰でも解くことができる。逆に言えば、ただ公式を丸ごと覚えてきただけでその成り立ちを理解していない生徒は、この問題で使われている解き方の法則を見つけづらいのではないだろうか。
そこから、学校側は自ら考え、答えを導けるような生徒を求めていたのではないかと考えている。

自分で考え、今までの問題から一番解きやすい方法を導き出して計算する。これからは、そういった点と点をつなげる想像力と連想力が必要になってくるのではないだろうか。

解いてみた感想

わかってしまえば簡単な問題ではあったが、芋づる式の問題は、一つのミスが命取りになる。そういった点ではとてもスリルがあって面白い問題だったと思う。
（４）では、いかに早く、間違いにくい解き方を自ら導き出すかといった思考力が問われる点も、この問題を楽しめる一つになっていた。

こういった問題を試験であっても楽しく解けるような生徒は、開成でも楽しく勉学に励んでいってほしいと思う。

まあ何はともあれ、父からの挑戦状は果たされたのでこれからのんびりしたいと思う。

もしほかの学校の過去問も解説してほしい、という要望があったら解説をするかもしれないので気軽にコメントしてほしい。