こんにちは。
　久々の記事になります。

　最近仕事と数検1級に向けた勉強に時間を全振りしていて、記事を書く時間を捻出できませんでした。
　これはいかん！！

　ということで、久々に記事を書きます。
　内容は、数学の「部分分数分解」というやつです。

　数検1級に向けた勉強をしていて、なぜ？と感じたところだったので自分なりにまとめました。

　もし、高校生で同じ疑問を持っている方がいらっしゃれば、一助になると幸いです。

１　部分分数分解とは？

　部分分数分解について、簡単に説明します。
　なんだか早口言葉にありそうな単語ですね笑

　部分分数分解とは、ある分数の式を2つ以上の分数の式に分解することです。
　言葉だけだと分かりにくいので、具体例を示します。

例
　$${\frac{1}{x^2-1}}$$を部分分数分解すると、

　$${\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})}$$

　左辺は1つの分数の式だったものが、2つの分数の式に分解できました。

２　なぜ部分分数分解をするの？

　なぜこんなことをするのか？と思いますよね。

　実は部分分数分解することで、積分ができるようになるからなんです。

　分数関数の積分に関しては、本題とずれてしまうので、この記事では取り上げません。

　もしご興味ある方は参考書で確認いただければと思います。

３　分母の次数と分子の次数の関係

　部分分数分解したとき、一般的には分母の次数より分子の次数が１だけ小さくなるように部分分数分解します。

　具体的には、下の例の通りです。

４　納得できない公式

　数検１級の参考書の問題と、公式を示します。

　問題　次の式を部分分数分解しなさい。

　この公式で納得できないところは、下の図１の赤で示した部分です。

　一般的には、分子の次数は分母の次数より１だけ小さくなるように部分分数分解しますが、図の赤で示した部分は次数が２小さいです。

　これが公式で示されていますが、納得できませんでした。

５　公式を納得できるようにする

　では上の図の公式の納得できないところを解決します。

　まず一般的な形、つまり分母の次数が分子の次数より１だけ小さい形に部分分数分解したと考えます。（図２）

　図２の右辺の第１項に注目して、次のような式変形をします。（図３）

　図３の最後の行の第２項を見てください。
　分母は$${(x-1)^2}$$で次数は２、分子は$${A+B}$$で次数は０。（図４）

　よって、公式のような形に変形できると分かります。

　公式を導きます。

　図５の最後の式のA+B、A+Cを改めてそれぞれA , Bとする。
　またDをC、EをDにする。

６　一般的に・・・

　今回は、分母が$${(x-1)^2}$$でした。

　では、$${(x-1)^2}$$が$${(x-1)^3}$$だったら、その部分分数分解したときの分子の次数はどうなるでしょうか。

　もし部分分数分解すると、次のような形のはずです。（図６）

　右辺の第一項に注目して、次のような変形をします。

　図７の最後の式の分子の次数は、すべて０です。

　この結果から予想できるのは、分母に$${(x+a)^n}$$（$${a}$$は任意の実数）が含まれる式を部分分数分解をすると、分子の次数は必ず０だということです。

７　最後に

　今回は数学検定１級の勉強をする中で疑問に感じたところを解決できました。

　細かいところですが、１つ１つ納得しながら進むというのも大事だと思います。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！