前回の記事はこちら。

今回紹介するゲームは、前回の締めでお伝えしました『Dawson's Kayles（ドーソンズ・ケイルズ）』です。
といいつつ、いくつかのゲームをおさらいする話となっております。

Dawsonなの？Keylesなの？

名称の通り、『Dawson's Kayles（ドーソンズ・ケイルズ）』は『Dawson's Chess（ドーソンズ・チェス）』と『Keyles（ケイルズ）』の合成です。

『ドーソンズ・チェス』は前回の記事で紹介しました。
『ケイルズ』は以下の過去の記事で紹介しています。

『ドーソンズ・チェス』は「Octal Game（８進ゲーム）」だと0.07で表すことができるゲームです。
「８進ゲーム」も以下の過去の記事で紹介しています。

『ドーソンズ・チェス』は「８進ゲーム」で0.137で、『ケイルズ』は0.77で表すことができます。
３つのゲームを並べて比較すると、

　　　　　　『ケイルズ』　……0.77
『ドーソンズ・ケイルズ』……0.07
『ドーソンズ・チェス』　……0.137

『ドーソンズ・ケイルズ』は、『ドーソンズ・チェス』　と全く異なりますが、　『ケイルズ』と非常に似ています（小数第１位が異なるだけです）。

『ケイルズ』の手番のルールは、

です。
『ドーソンズ・ケイルズ』は、言ってみれば石２個しか取れない版『ケイルズ』です。
それがなんで『ドーソンズ・チェス』と関係があるのか。

双対性

その前に、軽い余談です。
数学や物理学など理系学問に、双対性という概念があります。

ごちゃごちゃ書いていますが、手っ取り早く例を出します。
下のこれは何でしょうか？

多分、ほとんどの人はご存知だと思いますが、四角形です。
ところが、これには別の呼び方があります。
さらに下のこれは何でしょうか？

多分、大方の人は多分そう見えるとは思いますが、平行四辺形です。
だけど、平行四角形とは呼びません。
しかしながら、さっき四角形といったものは四辺形と呼ぶこともあります。

とまあ、状況によって四角形だったり四辺形だったりするのですが、これらの図形の角と辺が双対（ある意味で互いに「裏返し」の関係）になっているわけです。

盤面のマスの内と外の双対

『Dawson's Chess（ドーソンズ・チェス）』の手番での例をあげます。

上が『ドーソンズ・チェス』で、下が「Octal Game（８進ゲーム）」に置き換えた盤面です。
「８進ゲーム」だと、「石４個の山から石３個を取り、山はまだ（石１個）残る」ということです。

ところで、「８進ゲーム」の盤面の石はどこにあるのでしょうか？
当たり前といえば当たり前（そうするように準備したから）なのですが、石はマスの中にあります。
では、「石３個取る」に匹敵する――できれば『Keyles（ケイルズ）』らしい――他の方法はあるのでしょうか。

あります。

マスの枠をブチ折ります。

あたらためて、手番の例を追加確認します。
一番上が『ドーソンズ・チェス』です。
その下が「８進ゲーム」に置き換えたもの。
さらにその下が盤面のマスのタテ枠２本をブチ折ったもの。
一番下は、盤面のマスのタテ枠をピンにして『ケイルズ』に合わせてみたもの……というか『Dawson's Keyles（ドーソンズ・ケイルズ）』なのですが……になります。

手番終了（右側）の盤面をよく見ると、『ドーソンズ・チェス』ではまだ一番左列のポーンを動かすことができます。
さらに、『ドーソンズ・ケイルズ』に置き換えた盤面も、左端にピンが２本並んでいるので、倒すことができます。
右に残ったピンは１本だけなので、倒すことができませんし、『ドーソンズ・チェス』でも、動かせるポーンはありません。

つまり、

『ドーソンズ・ケイルズ』……0.07
は、
『ドーソンズ・チェス』……0.137
と双対関係にあるゲーム

なのです。
マスの中とマスの外（ワク、あるいは、縁）とは相対関係なのです。

『Treblecross』もか！

さて、マスの枠ブチ折り行為という暴挙は、ほかのゲームにも適用できます。

たとえば、以前紹介した『Treblecross（トレブルクロス）』です。

これも『Dawson's Chess（ドーソンズ・チェス）』と同様に、例を上げてみます。

一番上が『トレブスクロス』。
その下が「８進ゲーム」に置き換えたもの。
さらにその下が、手番に合わせて盤面のマスのタテ枠をブチ折ったもの。
一番下は、盤面のマスのタテ枠をピンにしたもの、です。

『ドーソンズ・チェス』の双対ゲームと同様に、マスのタテ枠を２本ブチ折る、もしくは、ピンを２本倒します。

『トレブスクロス』では、次の手番にａ、またはｂのマスにコマを置くと負け（次の相手の手番で３目並べられてしまう）となります。
一番下のピンの並びの状況を見ると、ａとｂのマスどちらも、両脇に２本ピンが並んでいます。
しかし、『トレブスクロス』のルールにあわせると、２本のピンを倒すと負けになってしまいます。
それぞれのアクションは「８進ゲーム」でみると、
・ａの場合は、山の消滅（１）
・ｂの場合は、山の残存（２）
にあたります。

つまるところ、『トレブルクロス』を「８進ゲーム」であらわす双対ゲームでは、山の分裂しかできない版『ドーソンズ・ケイルズ』であり、0.04になります。

『Keyles』もなのか？！

さてこうなると、マスの枠を絶賛ブチ折る真似をされている『Keyles（ケイルズ）』も気になっていきます。
しかし、『ケイルズ』のルールを確認すると、連続した２本のピンを倒すのは、マスのタテ枠を１本ブチ折る、とすればよさそうです。
しかし、ピン１本倒すときはどうすればいいのでしょうか。

「Octal Game（８進ゲーム）」では、手番で石を取るときのルール――小数第ｎ位が石ｎ個を取るときのルール――を数値であらわします。
実は、この表記ルールで例外が１つあります。

石０個取る、
つまり、
石を取らないアクションです。

・石を取らずに山を消滅（１）することはできません。
・石を取らずに山を残存（２）するのは、状態が全く変わらない、いわゆるパスです。
ただし、残存（２）を数学的にこれを許すと、ゲームの終了ができなくなるので、考えないこととしています。
・石を取らずに山を２つに分裂する（４）のは、（山に石が２個以上あれば）できます。

ということで、「８進ゲーム」での１の位は、（通常）０なのですが、４も入ることがあります（例えば、4.77、などと表記する）。

これを、盤面のマスの枠をブチ折ってあらわすことができます。

はい。
盤面のマスのヨコ枠をブチ折ればいいんです。

上の表現は、盤面も２つに分裂しているので、さらにニム（山崩し）のイメージがしやすくなります。
なので、いままでタテ枠だけをブチ折って説明していた部分は、ヨコ枠も巻き込んでみる表現（下図の赤破線にあたる部分）もありかと思います。

ということで、『ケイルズ』を「８進ゲーム」であらわす双対ゲームは、みなさんで考えてみてください。

締め

ということで、数回にわたって記事にした「Octal Game（８進ゲーム）」関係は、一区切りとします。
もしかすると、また復活するかも知れませんが、そろそろ別話題のゲームも書かないとなあ、とフラフラ日和らせてもらいます。

では。