数々の偉人たちが作り上げてきた「数学」を少し掘り下げてみましょう。そんな企画です。

数学の分野は大まかに解析学・代数学・幾何学と呼ばれる３つに分類されます。前回は「解析学」について紹介しました。

解析学は私の得意分野のひとつで、物理学の様々な場面で登場するので、工学の分野とも親和性があります。ぜひ微分積分の功績に触れてみてください。

引き続き、今回は「代数学」について見てみます。

代数学とは

現代で言われる「代数学」は「抽象代数学」を意味することが多いです。

ある数に対して「たし算」や「かけ算」などの演算子が追加されることで、新たな数が生まれます。これらの処理を数の演算と呼びます。この数というモノは数値に限られた話ではありません。方程式に登場するｘなどの文字も対象です。

つまり、対象とするモノと演算をセットにして考えるのが「抽象代数学」の基本的な考え方です。より平たく言うならば、方程式などに代表される「数の代わりに文字を扱う分野」のことを「代数学」と言います。

高校数学までの範囲で登場するモノの候補としては、整数や実数などの数値・関数・ベクトル・数列・行列などが挙げられます。演算の候補としては、四則演算が代表的ですが、ベクトルの加法や行列の乗法など、様々なモノに対する演算が定義されています。

モノと演算の構造形態で名前が付いています。

これらは数の加法や乗法を抽象化することで得られる概念です。代数学はこのような計算処理（代数的演算）に関わる学問と言えます。

代数学を代表する２つの大きな分野に「整数論」と「代数幾何学」があります。

整数論は主に整数を扱いますが、一見簡単に見えることとは裏腹に、極めて難しい問題が現れます。例えば、フェルマーの大定理や素数分布に関わるリーマン予想などがあります。

代数幾何学は高校数学（図形と方程式）を高度に、且つ抽象的にしたものです。主に複素解析と呼ばれる分野で利用されています。

代数学の基本定理

代数方程式の解について次の重要な定理が知られています。非常に重要な定理なので「代数学の基本定理」と呼ばれています。

代数方程式とは、有限個の係数や未知数が代数式（先ほど説明したモノと演算で書き下されたもの）で表される方程式のことです。

説明で「複素数の中に」と分かりにくい表現を使いましたが、これは常に複素数の解を持つという意味ではありません。実数は複素数の特別な場合（虚部がゼロ）だと言えますし、有理数は実数の特別な場合です。

仮に方程式が実数や有理数の解を持つとしても、それも複素数の特別な場合だと考えるのです。解の最大の範囲として複素数まで考えますという意味です。

重要なのは解の個数です。例えば、$${x^2=2}$$は有理数の範囲では解を持ちませんが、実数にまで探す範囲を広げれば、$${x=\pm\sqrt2}$$という解を持ちます。

同様に、$${x^2=-1}$$も実数の範囲に限れば解を持ちませんが、複素数にまで範囲を広げれば、$${x=\pm{i}}$$という解を持ちます。

このように、方程式の解の個数は解を探す数の範囲によって異なります。

代数学の基本定理は、複素数の範囲にまで解を探す範囲を広げれば、ｎ次方程式には必ずｎ個の解がみつかることを保証してくれる定理なのです。

おわりに

今回は数学の領域から「代数学」について見ていきました。私は基本的に得意としていたのが解析学の方でしたので、代数学は知るだけで新しいことばかりです。

モノ（数など）と演算を組み合わせる。それで新しい数が生まれる。そう考えると代数学も楽しい分野になるかもしれません。

次回は幾何学についてお話しします。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございます。実際は非定期ですが、毎日更新する気持ちで取り組んでいます。あなたの人生の新たな１ページに寄り添えたら幸いです。何卒よろしくお願いいたします。

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