この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

縮約密度オペレータの議論で暗黙的に部分トレースの性質を使ってきたので、ここでは部分トレースの性質を説明し、そのあと実際に縮約密度オペレータを計算した例について述べる。

$${V, W}$$のCONSをそれぞれ$${\{|v_i\rang\}, \{|w_i\rang\}}$$とおく。この時、それぞれのオペレータを次のように表す。

$$
A = \sum_{ij} a_{ij} |v_i \rang \lang v_j|, B = \sum_{kl} b_{kl} |w_k \rang \lang w_l|
$$

この時、$${A \otimes B}$$は

$$
A = \sum_{ijkl} a_{ij} b_{kl} |v_i \rang \lang v_j| \otimes |w_k \rang \lang w_l|
$$

となる。これより、次のように性質を証明できる。

$$
\begin{array}{l}
{\rm tr}_V A \otimes B \\
= \sum_{ikl} a_{ii} b_{kl} |w_k \rang \lang w_l|\\
= (\sum_i a_{ii}) \sum_{kl} b_{kl} |w_k \rang \lang w_l|\\
= ({\rm tr} A) B
\end{array}
$$

$${W}$$側についても同様。

この性質を利用すると、相関していない複合系の量子状態から部分系を求めると、単純に各系の状態を記述するだけでよいことがわかる。

さて、ここからは実際に縮約密度オペレータを求めて、その性質をよりよく理解することに努めよう。

$${V \otimes W}$$の密度オペレータを$${\theta = |\Psi\rang \lang \Psi|}$$とする。ここで$${|\Psi\rang}$$を次のBell状態とする。

$$
|\Psi \rang \equiv \frac{|00\rang + |11\rang}{\sqrt{2}}
$$

この時

$$
{\rm tr}_W \theta = {\rm tr}_W \frac{1}{2} \left[ \sum_{ij} |i\rang \lang j| \otimes |i\rang \lang j|\right] = \frac{I}{2}
$$

$$
{\rm tr}_V \theta = {\rm tr}_V \frac{1}{2} \left[ \sum_{ij} |i\rang \lang j| \otimes |i\rang \lang j|\right] = \frac{I}{2}
$$

となる。これは実は奇妙なことで、複合系の状態が純粋状態であるにも関わらず、部分系の状態は混合状態にある。従来の系においてこのようなことは起こりえない。つまり複合系の状態が純粋状態であれば部分系の状態は純粋状態であり、混合状態であれば部分系も混合状態になる。

このような性質は量子エンタングルメントが存在することのもう一つの証になる。

さてもう一つの例として、量子テレポーテーションにおいて情報を光速を超えて伝送できないことを示そう。

入力状態として$${\rho = |\psi\rang \lang\psi |}$$とする。この時$${|\psi\rang}$$を次のようにおこう。

$$
|\psi\rang \equiv \alpha |0\rang + \beta |1\rang
$$

すると、測定前の状態はアダマールゲート$${H}$$とControlled-NOTゲート$${U_{CNOT}}$$を用いて$${(H \otimes I)(U_{CNOT} \otimes I)|\psi\rang \otimes |\Psi\rang}$$となり、次のように書き換えられる。

$$
\begin{array}{l}
(U_{CNOT} \otimes I)|\psi\rang \otimes |\Psi\rang \\
= \frac{1}{\sqrt{2}}(U_{CNOT} \otimes I) [\alpha|000\rang+\alpha|011\rang + \beta|100\rang+ \beta|111\rang]\\
= \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha|000\rang+\alpha|011\rang + \beta|110\rang+ \beta|101\rang]\\
(H \otimes I)(U_{CNOT} \otimes I)|\psi\rang \otimes |\Psi\rang \\
= \frac{1}{2}\left[\alpha|000\rang + \alpha|100\rang + \alpha|011\rang + \alpha|111\rang + \beta|010\rang - \beta|110\rang + \beta|001\rang -\beta|101\rang\right] \\
= \frac{1}{2}\left[|00\rang(\alpha|0\rang + \beta|1\rang)+|01\rang( \alpha|1\rang +\beta|0\rang)+ |10\rang(\alpha|0\rang - \beta|1\rang)+|11\rang(\alpha|1\rang - \beta|0\rang)\right]
\end{array}
$$

これに対して測定を行うと、次のように状態は$${\theta_M}$$に変化する。

$$
\begin{array}{l}
\theta_M\\
\equiv(\sum_{ij} |ij\rang\lang ij| \otimes I)(H \otimes I)(U_{CNOT} \otimes I)|\psi\rang\lang\psi| \otimes |\Psi\rang\lang\Psi|(U_{CNOT}^* \otimes I)(H \otimes I)(\sum_{ij} |ij\rang\lang ij| \otimes I) \\
= \frac{1}{4}[|00\rang\lang00|(\alpha|0\rang + \beta|1\rang)(\alpha^*\lang0| + \beta^*\lang1| ) \\
\quad + |01\rang\lang01|( \alpha|1\rang +\beta|0\rang)(\alpha^*\lang1| +\beta^*\lang0|)\\
\quad + |10\rang\lang10|(\alpha|0\rang - \beta|1\rang)(\alpha^*\lang0| - \beta^*\lang1|)\\
\quad+|11\rang\lang11|(\alpha|1\rang - \beta|0\rang)(\alpha^*\lang1| - \beta^*\lang0|)]\\
{\rm tr}_{Alice} \theta_M\\
= \frac{1}{4}[(\alpha|0\rang + \beta|1\rang)(\alpha^*\lang0| + \beta^*\lang1| ) \\
\quad + ( \alpha|1\rang +\beta|0\rang)(\alpha^*\lang1| +\beta^*\lang0|)\\
\quad + (\alpha|0\rang - \beta|1\rang)(\alpha^*\lang0| - \beta^*\lang1|)\\
\quad+(\alpha|1\rang - \beta|0\rang)(\alpha^*\lang1| - \beta^*\lang0|)]\\
= \frac{1}{4}[2(|\alpha|^2 + |\beta|^2)|0\rang\lang0| + 2(|\alpha|^2 + |\beta|^2)|1\rang\lang1|]\\
= I/2
\end{array}
$$

したがってBobが測定結果をAliceから受け取る前の状態$${{\rm tr}_{Alice} \theta_M}$$はAliceが送りたかった状態とは一切の関係がないことがわかる。したがってAliceから従来の通信方法によってBobが測定結果を知るまでは量子状態、すなわち情報は送信されたことにはならない。