この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

ここからは密度オペレータによる量子力学の公理の表現において有用な応用である、縮約密度オペレータによる部分量子系の状態表現について説明する。

このためにはまず複合量子系における部分トレースという演算を定義する必要がある。今、$${V, W}$$を二つの量子系を記述するヒルベルト空間とし、それぞれの空間のCONSを$${\{|v_i\rang\}, \{|w_i\rang\}}$$とする。このとき、複合系$${V\otimes W}$$上の線形オペレータに対し、系$${W}$$における部分トレースは次のように定義される

$$
{\rm tr}_{W}(|v_i\rang\lang v_j|\otimes|w_k\rang\lang w_l|) \equiv {\rm tr}(|w_k\rang\lang w_l|)|v_i\rang\lang v_j|
$$

この定義はCONSに対してのみの定義であるため、実際にはこの定義に線形性を付け加える。また、系$${V}$$における部分トレースも同様にして、次のように定義される。

$$
{\rm tr}_{V}(|v_i\rang\lang v_j|\otimes|w_k\rang\lang w_l|) \equiv {\rm tr}(|v_i\rang\lang v_j|)|w_k\rang\lang w_l|
$$

部分トレースという概念を用いて、部分系の密度オペレータを導出する方法を示そう。

複合量子系$${V \otimes W}$$の密度オペレータ$${\theta}$$が与えられたとき、部分系$${V}$$の密度オペレータ$${\rho}$$と部分系$${W}$$の密度オペレータ$${\sigma}$$は次のように計算される。

$$
\rho = {\rm tr}_{W} \theta,\ \sigma = {\rm tr}_{V} \theta
$$

この密度オペレータを特に$${\theta}$$の縮約密度オペレータと呼ぶ。

この計算が妥当な理由を説明する。要は複合量子系のまま行う部分系に対する測定の統計と部分トレースで部分系に落とし込んだ時のあらゆる測定の統計が一致していれば妥当であるといえる。

$${\{M_p\}}$$を$${V}$$上の測定オペレータの集合としよう。この測定オペレータを用いた測定において、測定値$${p}$$が得られる確率を状態$${\rho}$$における$${P_p}$$と$${\theta}$$における$${P'_p}$$とすると、次のように計算される。

$$
\begin{array}{l}
P_p \\
= {\rm tr}(\rho M^*_pM_p) \\
= {\rm tr}\left(\sum_{ij} \rho_{ij}|v_i\rang\lang v_j|M^*_pM_p\right)\\
= \sum_{ij} \rho_{ij} \lang v_j | M^*_pM_p |v_i\rang\\
P'_p \\
= {\rm tr}\left( \theta (M^*_pM_p\otimes I)\right) \\
= {\rm tr}\left(\sum_{ijkl} \theta_{ijkl}|v_i\rang\lang v_j| \otimes |w_k\rang\lang w_l| (M^*_pM_p \otimes I)\right)\\
= \sum_{ij} \left(\sum_{k}\theta_{ijkk} \right) \lang v_j|M^*_pM_p|v_i\rang
\end{array}
$$

さて、ここで$${\rho = {\rm tr}_W \theta}$$が成り立つとすると

$$
\begin{array}{l}
P_p \\
= {\rm tr}(\rho M^*_pM_p) \\
= \sum_{ij} \left(\sum_k \theta_{ijkk}\right) \lang v_j|M^*_pM_p |v_i\rang\\
= P'_p
\end{array}
$$

が成立することがわかる。

逆に$${P_p = P'_p}$$が成り立つとしよう。今、任意の測定を考えているので、任意のオペレータ$${M}$$に対して次が成り立つ。

$$
{\rm tr}(\rho M^*M) = {\rm tr}\left( \theta (M^*M\otimes I)\right) \\
$$

つまり、任意の正のオペレータ$${M_+}$$に対して

$$
{\rm tr}(\rho M_+) = {\rm tr}\left( \theta (M_+\otimes I)\right) \\
$$

が成り立つ。この等式を展開すると

$$
\begin{array}{l}
{\rm tr}(\rho M_+) \\
= {\rm tr}\left(\sum_{ij} \rho_{ij}|v_i\rang\lang v_j|M_+\right)\\
= {\rm tr}\left(\sum_{ij} (\sum_k \theta_{ijkl})|v_i\rang\lang v_j|M_+\right)\\
= {\rm tr}\left( \theta (M_+\otimes I)\right) \\
\end{array}
$$

となる。ここで線形オペレータの集合がヒルベルト-シュミット内積によってヒルベルト空間になることを思い出そう。更にエルミートオペレータの集合は和と実数倍によって、実部分空間になることはすでにわかっていることだ。つまり、エルミートオペレータの集合はヒルベルト-シュミット内積によって実ヒルベルト空間になる。

ヒルベルトシュミット内積を用いると、先の等式は次のように書き換えられる。

$$
\begin{array}{l}
\left(M_+ , \sum_{ij} \rho_{ij}|v_i\rang\lang v_j|\right) \\
= {\rm tr}\left(\sum_{ij} \rho_{ij}|v_i\rang\lang v_j|M_+\right)\\
= {\rm tr}\left(\sum_{ij} (\sum_k \theta_{ijkl})|v_i\rang\lang v_j|M_+\right)\\
= \left(M_+ , \sum_{ij} (\sum_k \theta_{ijkl})|v_i\rang\lang v_j|\right)
\end{array}
$$

つまり、任意の正のオペレータ$${M_+}$$に対して

$$
\left(M_+ , \sum_{ij} (\rho_{ij}-\sum_k \theta_{ijkk})|v_i\rang\lang v_j|\right) = 0
$$

が成り立つ。さて、ここが肝になるが任意のエルミートオペレータ$${M}$$は正のオペレータ$${A, B}$$を用いて$${M = A + iB}$$とかけることを以前示した。これにより

$$
\begin{array}{l}
\left(M, \sum_{ij} (\rho_{ij}-\sum_k \theta_{ijkk})|v_i\rang\lang v_j|\right) \\
=\left(A, \sum_{ij} (\rho_{ij}-\sum_k \theta_{ijkk})|v_i\rang\lang v_j|\right) - i\left(B, \sum_{ij} (\rho_{ij}-\sum_k \theta_{ijkk})|v_i\rang\lang v_j|\right)\\
= 0
\end{array}
$$

が示される。エルミートオペレータ全体のヒルベルト空間からCONS$${E_n}$$をとってきてもこれは成り立つから、任意の$${n}$$に対して次が成立する。

$$
\left(E_n, \sum_{ij} (\rho_{ij}-\sum_k \theta_{ijkk})|v_i\rang\lang v_j|\right) = 0
$$

つまり$${\sum_{ij} (\rho_{ij}-\sum_k \theta_{ijkk})|v_i\rang\lang v_j| = 0}$$であるから、$${\rho_{ij} = \sum_k \theta_{ijkk}}$$となり、結論として$${\rho = {\rm tr}_W \theta}$$が示される。

まとめると、あらゆる測定の統計が一致するような部分系の計算の仕方には部分トレースしかないことが示されたのだ！

なお、測定後の状態も部分トレースによって無矛盾に計算できることがわかる。これについては詳しく計算しないが、次が示せる。

$$
\frac{M^*_i \rho M_i}{\sqrt{{\rm tr}(M^*_i \rho M_i)}} = \frac{{\rm tr}_W [(M^*_i\otimes I) \theta (M_i \otimes I)]}{\sqrt{{\rm tr}[(M^*_i\otimes I) \theta (M_i \otimes I)]}}
$$