この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

前回の記事では正規オペレータのスペクトル分解について述べた。この記事ではスペクトル分解をふんだんに利用して、各オペレータの役立つ性質を確認していく。

射影オペレータの性質

射影オペレータ$${P}$$が与えられて、対応する固有空間を$${W}$$とする。$${W}$$のCONS$${\{|w_i\rangle\}}$$とすると、$${P = \sum_i |w_i\rangle \langle w_i |}$$とかけるから

$$
P^2 = \sum_i \sum_j |w_i\rangle\langle w_i|w_j\rangle\langle w_j| = \sum_i |w_i\rangle\langle w_i| = P
$$

が成立する。

ヒルベルト空間を$${V}$$とし、$${V}$$の$${\bold 0}$$でないベクトル$${|v\rangle}$$に対して$${P_W |v\rangle = \lambda |v\rangle}$$が成り立つとする。射影定理によって$${|v\rangle = |w\rangle + |w^\perp\rangle}$$とかけたとき、上記の等式は

$$
(1-\lambda)|w\rangle - \lambda |w^\perp\rangle = \bold 0
$$

と書き直せる。$${|w\rangle, |w^\perp\rangle \neq \bold 0}$$だとすると等式が成立しなくなってしまうため、$${|w\rangle}$$と$${|w^\perp\rangle}$$のいずれかは$${\bold 0}$$である。このことから$${|w\rangle = \bold 0}$$のとき$${\lambda = 0}$$であり、$${|w^\perp\rangle = \bold 0}$$のとき$${\lambda = 1}$$であることがわかる。

以上より、射影オペレータの固有値は0または1。

エルミートオペレータの性質

まずはエルミートオペレータの固有値が実数になることを示す。$${\lambda}$$をエルミートオペレータ$${A}$$の固有値、$${|v\rangle}$$を$${A}$$の固有値$${\lambda}$$に対する固有ベクトルとすると、

$$
\lambda^*|||v\rangle||^2 = (\lambda|v\rangle, |v\rangle) = (A|v\rangle, |v\rangle) = (|v\rangle, A|v\rangle) = (|v\rangle, \lambda|v\rangle) = \lambda |||v\rangle||^2
$$

より、$${\lambda = \lambda^*}$$が成り立つ。したがって、固有値$${\lambda}$$は実数である。

逆に正規オペレータ$${A}$$の固有値が実数であったとき、オペレータはエルミートオペレータであることを示す。$${A}$$が正規オペレータであることよりスペクトル分解が可能であるから、実数の組$${\{\lambda_i\}}$$とCONS$${\{|v_i\rang\}}$$が存在して

$$
A = \sum_i \lambda_i |v_i \rang\lang v_i|
$$

と書ける。この表現と転置共役の性質から、$${A^*=A}$$は明らかである。

ユニタリオペレータの性質

ユニタリオペレータ$${U}$$も正規オペレータであるため、適当なCONS$${\{|e_i\rang\}}$$を用いて

$$
U=\sum_i \lambda_i |e_i \rang \lang e_i |
$$

と書ける。ユニタリオペレータの定義より、

$$
UU^* = \sum_i |\lambda_i|^2 |e_i \rang \lang e_i | = \sum_i |e_i \rang \lang e_i| = I
$$

が成り立つ。よって$${|\lambda_i| = 1}$$となる。

正のオペレータの性質

まず正のオペレータがエルミートオペレータであることを示そう。このために任意の線形オペレータ$${A}$$は、エルミートオペレータ$${B, C}$$が存在して

$$
A = B + iC
$$

と書けることを示す。これが示せれば$${A}$$が正のオペレータであるときに、エルミートオペレータ$${B, C}$$のスペクトル分解により$${C = 0}$$、$${A = B}$$が成り立つため、エルミートオペレータであることが明らかになる。

以下に示すように$${A}$$を分解する。

$$
A = \frac{1}{2} (A + A^*) + \frac{1}{2} (A - A^*)
$$

このとき、$${B = \frac{1}{2} (A + A^*)}$$、$${D = \frac{1}{2} (A - A^*)}$$とおくと、$${B^* = B}$$、$${D^* = -D}$$である。ここで$${C \equiv D/i = -iD}$$とおくと、$${C^* = iD^* = -iD}$$となり、$${C}$$はエルミートオペレータとなる。$${D = iC}$$であるため、このようなエルミートオペレータ$${B, C}$$を用い、$${A = B + iC}$$と書くことができる。

以上より、正のオペレータはエルミートオペレータである。

次に、正のオペレータ$${A}$$の固有値が非負であることを示す。$${A}$$の固有値を$${\lambda}$$、これに対応する固有ベクトルを$${|v\rangle}$$とすると、

$$
\lang v | A | v \rangle = \lambda \lang v | v\rang = \lambda |||v\rang||^2 \ge 0
$$

が成立し、固有値$${\lambda}$$は非負であることがわかる。

ほぼ自明だが、以下の通り証明できる。

$$
(|x\rang, A^*A |x\rang) = (A|x\rang, A|x\rang) = ||A|x\rang||^2 \ge 0
$$