今回の統計トピック

確率の加法定理と積事象の確率を通じて、事象の排反と独立について学びます！
ベン図が便利です。
Webサイトのベン図ツールとPythonでベン図を描きました！

公式問題集の準備

「公式問題集」の問題を利用します。お手元に公式問題集をご用意ください。
公式問題集が無い場合もご安心ください！
「知る」「実践する」の章で、のんびり統計をお楽しみください！

問題を解く

📘公式問題集のカテゴリ

確率の分野
問4 事象間の排反・独立（データ無し）

試験実施年月
統計検定2級 2019年6月 問7（回答番号13）

問題

公式問題集をご参照ください。

解き方

題意
２つの事象について、確率の加法定理を利用して、排反と独立の判定をします。

では、確率の加法定理から始めます。

確率の加法定理（公式）

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
$$

確率の加法定理に問題文の値を当てはめて、$${P(A \cap B)}$$を求めます。

$$
\begin{align*}
P(A \cup B)&=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
0.61&=0.4+0.35-P(A \cap B) \\
P(A \cap B)&=0.4+0.35-0.61=0.14
\end{align*}
$$

排反の判定
事象$${A}$$と事象$${B}$$が排反の場合、$${P(A \cap B)=P(\emptyset)=0}$$が成り立ちます。
しかし、上記の確率の加法定理の当てはめ結果は、$${P(A \cap B)=0.14\neq0}$$です。
事象$${A}$$と事象$${B}$$は排反ではありません。

独立の判定
事象$${A}$$と事象$${B}$$が独立の場合、$${P(A \cap B)=P(A)\ P(B)}$$が成り立ちます。
問題文の値を当てはめると、$${P(A)\ P(B)=0.4\times0.35=0.14}$$になります。
つまり、$${P(A \cap B)=P(A)\ P(B)=0.14}$$です。
事象$${A}$$と事象$${B}$$は独立です。

解答

② 独立だが排反ではない です。

難易度　やさしい

・知識：事象の排反と独立
・計算力：数式組み立て（低）
・時間目安：1分

知る

おしながき

公式問題集の問題に接近してみましょう！
今回は、類似問題を一緒に解いて、確率の加法定理、排反、独立を確認してまいりましょう！

お題

サイコロを１回振ります。
奇数の目が出る事象$${A}$$と３の倍数の目が出る事象$${B}$$について、確率の加法定理、排反、独立を考えます。

ベン図の作成には次のサイトのお世話になりました。
ありがとうございました！

確率の加法定理

📕公式テキスト：2.1 事象と確率（55ページ～）

奇数の目が出る事象$${A}$$の確率$${P(A)}$$は$${1/2}$$です。

３の倍数の目が出る事象$${B}$$の確率$${P(B)}$$は$${1/3}$$です。

奇数の目が出る事象$${A}$$と３の倍数の目が出る事象$${B}$$のうち、少なくとも１つが起きる和事象$${A \cup B}$$の確率$${P(A \cup B)}$$は$${2/3}$$です。

奇数の目が出る事象$${A}$$と３の倍数の目が出る事象$${B}$$が同時に起きる積事象$${A \cap B}$$の確率$${P(A \cap B)}$$は$${1/6}$$です。

和事象の確率$${P(A \cup B)}$$の図に注目します。
$${A}$$単体の確率$${P(A)}$$と$${B}$$単体の確率$${P(B)}$$を足して、積事象の確率$${P(A \cap B)}$$を引くと、和事象の確率$${P(A \cup B)}$$になります。

$$
\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}+\cfrac{2}{6}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}
$$

この関係が確率の加法定理です。

確率の加法定理

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
$$

排反

📕公式テキスト：2.1 事象と確率（55ページ～）

事象$${A}$$と事象$${B}$$が排反である場合、積事象$${A \cap B}$$が空事象$${\emptyset}$$になります。
互いに排反の事象の積事象の確率は、$${P(A \cap B)=0}$$です。
ベン図で表すと、事象間が重ならない図になります。

お題の２つの事象の積事象の確率は$${P(A \cap B)=1/6\neq0}$$です。

したがって、奇数の目が出る事象$${A}$$と３の倍数の目が出る事象$${B}$$は排反ではありません。

独立

📕公式テキスト：2.2 条件付き確率（59ページ～）

概観
事象$${A}$$と事象$${B}$$が独立である場合、一方の事象の起きる／起きないが、もう一方の事象の確率に影響しません。

お題の２つの事象について考えます。
奇数の目が出る事象$${A}$$が起きる場合に３の倍数の目が出る事象$${B}$$の確率は$${1/3}$$です。
この確率は条件付き確率$${P(B \mid A)}$$と表すことができます。

一方、３の倍数の目が出る事象$${B}$$の確率$${P(B)}$$は$${1/3}$$です。

ともに確率は$${1/3}$$です。
このように、奇数の目が出る事象$${A}$$が起きても起きなくても、３の倍数が出る事象$${B}$$の確率が変わらないことが、独立であることなのです。

２つの事象の独立の定義
２つの事象$${A}$$と$${B}$$の積事象の確率$${P(A \cap B)}$$が、事象$${A}$$の確率$${P(A)}$$と事象$${B}$$の確率$${P(B)}$$の積と一致する場合、２つの事象は独立です。

$$
P(A \cap B)=P(A)\ P(B)
$$

お題の２つの事象について考えます。
確率$${P(A \cap B)=1/6}$$、$${P(A)\times P(B)=1/2 \times 1/3=1/6}$$であり、$${P(A \cap B)=P(A)\times P(B)}$$が成り立ちます。
奇数の目が出る事象$${A}$$と３の倍数の目が出る事象$${B}$$は独立です。

また概観に戻ります。
２つの事象が互いに独立の場合は、次が成り立ちます。

$$
P(B \mid A)=P(B),\quad P(A \mid B)=P(A)
$$

お題の２つの事象について考えます。
奇数の目が出る事象$${A}$$が起きる場合に３の倍数の目が出る事象$${B}$$の確率は、条件付き確率$${P(B \mid A)}$$であり、$${P(B \mid A)=1/3}$$です。
また、３の倍数の目が出る事象$${B}$$の確率$${P(B)}$$は$${1/3}$$です。
$${P(B \mid A)=P(B)}$$が成り立っています。

そして、３の倍数の目が出る事象$${B}$$が起きる場合に奇数の目が出る事象$${A}$$の確率は、条件付き確率$${P(A \mid B)}$$であり、$${P(A \mid B)=1/2}$$です。
また、奇数の目が出る事象$${A}$$の確率$${P(A)}$$は$${1/2}$$です。
$${P(A \mid B)=P(A)}$$が成り立っています。

ちなみに
奇数の目が出る事象$${A}$$と５の倍数の目が出る事象$${C}$$は、排反でも独立でもありません。
$${P(A \cap C)\ =1/6 \neq 0}$$であり、排反ではありません。
$${P(A \cap C) \neq P(A)\ P(C)}$$であり、独立ではありません。 

奇数の目が出る事象との関係で、３の倍数の目が出る事象の場合は独立になり、５の倍数の目が出る事象は独立にならないのは、なんだか面白いですね！

まとめ
２つの事象の排反と独立は、２つの事象の積事象の確率$${P(A \cap B)}$$を見ることで判定できました。
排反の場合は$${P(A \cap B)=0}$$が成り立ち、独立の場合は$${P(A \cap B)=P(A)\ P(B)}$$が成り立ちました。

公式のまとめ

実践する

今回はPython でベン図を描きます！

電卓・手作業で作成してみよう！

今回はお休みです。

EXCELで作成してみよう！

今回はお休みです。

Pythonで作成してみよう！

サクッとベン図を描きましょう！
サイコロの目について、奇数が出る事象$${A=\{ 1,3,5\} }$$と3の倍数が出る事象$${B=\{3,6\}}$$を題材にします。

①準備
matplotlibのベン図描画パッケージ「matplotlib_venn」を利用します。
パッケージのインストールが必要な場合は、pipまたはcondaコマンドでインストールしてください。
condaのインストールコマンドは次のようになります。

conda install -c conda-forge matplotlib-venn

②インポート
venn2で２つの事象のベン図を描きます。

from matplotlib_venn import venn2
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.family'] = 'MS Gothic'

③集合の定義と計算
venn2は集合型（set型）を扱います。
事象AとBの要素を集合型の変数に設定します。
あわせて、$${A \cap B^C,\ A \cap B,\ A^C \cap B}$$を算出します。

# 集合：set型の変数の定義
A = {1, 3, 5}     # 事象A：サイコロの目の奇数
B = {3, 6}        # 事象B：サイコロの目の3の倍数

# 積事象、差事象の計算
A_and_Bc = A - B  # 事象A ∩ 事象Bの余事象
A_and_B = A & B   # 事象A ∩ 事象B
Ac_and_B = B - A  # 事象Aの余事象 ∩ 事象B

④ベン図の描画
venn2でベン図を描画します。
引数は、venn2( [ 集合A, 集合B ], set_labels=(事象Aのラベル, 事象Bのラベル))です。

# ベン図の描画
venn2([A, B], set_labels=(f'事象$A$:奇数{A}', f'事象$B$:3の倍数{B}'))

# 修飾（グラフタイトル）
plt.title(f'【ベン図】\n'
          f'$A \cap B^c=${A_and_Bc}, $A \cap B =${A_and_B}, '
          f'$A^c \cap B=${Ac_and_B}');

こんな感じです！
要素数に応じて円の大きさが変わります。
ベン図の中の数字は要素数です。
例えば赤い部分の２は$${A \cap B^c=\{1,5\}}$$の要素数です。

Pythonサンプルファイルのダウンロード
こちらのリンクからJupyter Notebook形式のサンプルファイルをダウンロードできます。

おわりに

ベン図が出ました！
ベン図は数学者ジョン・ベン（John Venn）さんが考案したそうです。
ヴェン図のほうが発音に近いのかもです。

最後までお読みいただきまして、ありがとうございました。

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