前回、正n角形の１つの内角の大きさが整数になるのは22通りある、ということを求めてみました。

それの応用？ちょっと発展させて今回はこんな問題を考えてみました。

今日の問題はこちらです。

正三角形の１つの内角の大きさは60°であり、偶数となります。
一方、正八角形の１つの内角の大きさは135°であり、奇数となります。
では、正多角形の１つの内角の大きさが整数となるもののうち、その値が奇数となるものはいくつあるだろうか？

前回の考え方を少し利用するだけで求まるはずです！

ここから解説！

前回、正n角形の１つの内角の大きさは、$${180-\frac{360}{n}}$$で表せることを確認しました。
（偶数）ー（奇数）＝（奇数）ですので、$${\frac{360}{n}}$$の部分が奇数であれば、１つの内角の大きさが奇数になるとわかります。

よって、$${\frac{360}{n}}$$が奇数になるようなnの個数を求めていきます。

前回も確認した通り、$${360=2^3 \times 3^2 \times 5}$$です。

$${\frac{360}{n}}$$を素因数分解したときに、2を素因数として持たなければ奇数となるので、nが$${2^3}$$の倍数、つまり8の倍数であれば良いことがわかります。
あとは、$${3^2}$$と5をどのように組み合わせるかを考えれば良いだけです。

よって、nは8、24、40、72、120、360であれば、正n角形の１つの内角の大きさが奇数となることがわかります。（前回の（指数＋１）の計算を活かすと、3×2で6個）

したがって、今回の問題の答えは6個、ということがわかります。

以上のことから、正n角形の１つの内角の大きさが偶数となるのは16通りだということもわかります。さらに、少し考えてみると、奇数となるもののうち、正三百六十角形の１つの内角の大きさは179°となり、この時だけ内角の大きさが素数となることもわかります。

正n角形の１つの内角の大きさについて、他にはどんな問題が考えられるでしょうか？自分で問題を作ってみるのも、面白いかもしれませんね。

それではまた別の問題でお会いしましょう！