四則演算を使「わずに」数字を作る遊び
高校数学が得意だった人でないと、読みこなせない内容となっております。御容赦ください。
昔、理系人間ばかりで８人で旅行していたときの話。
電車の中でトランプを広げるには少々混雑が過ぎる。しりとりのような単純なゲームは性に合わない。
そこで、他愛もないクイズに時間が費やされることになる。
「ねえ、これは有名だから知ってるかな」
「なになに？」
「４を４回使って、四則演算で０から１０までの数を作るやつ」
「あー、はいはい」
これは知っている。
４＋４－４－４＝０
４×４÷４÷４＝１
・・・
といった感じで、答えが０から１０になるような式を作っていく遊びだ。
なお、１０を作る場合のみ、
「それはルール違反なんじゃないの？」
といわれる「ズル」があるので注意が必要だ。
この遊びでひとしきり盛り上がった後、ふと誰かが思いつくように言った。
「じゃあさ、数字も四則演算も一切使わずに３を作れる？」
は？
数字も四則演算も使わないってどういうことだよ？
「答えはね・・・。[π]」
円周率パイにガウス記号を付ける。
ガウス記号とは、小数点以下を切り捨てるという意味だ。πは3.1415・・・だから、ガウス記号をつけると３になる。
「ははは、くだらねー」
「いや、これ他の数字も作れそうだよね」
「例えば？」
「２は、[e]」
eは「自然対数の底」といって、2.71828・・・だから、ガウス記号を付ければ２。
確かにできる。
「じゃあ６は、[e][π]かな？」
「いや、四則演算を禁止した以上、掛け算はダメだ」
つまらない遊びが始まった。数字と四則演算を一切使わずに、どれだけの数字を作れるか。
「掛け算はダメだけど、じゃあ『べき乗』は？」
「『べき乗』ならいいよ」
「なら８とか９は簡単に作れるよね」
「なるほど。だとしたら、掛け算を使わずに掛け算ができるよね」
「どういうこと？」
「例えば、[e]と[π]を掛けて６を作りたい。でも掛け算は許されない。こういうときは、べき乗を使って掛け算すればいいんだ」
なるほど。「eの２乗」をさらに３乗すると、「eの６乗」になる。
それを利用して６を作ったわけだ。
「掛け算が可能になったから、だいぶ広がったよね」
「ねえ、俺は２の累乗を全部作る方法思いついたよ」
なるほど！
ルートの数を増やせば、２、４、８、１６、３２・・・と好きなだけ２の累乗を作っていくことができる。
「と、ここまでいくとさ・・・」
「うん、足し算を作りたいよね」
「むしろ足し算さえできれば、もう自然数は全部作れるってことでしょ」
足し算を作る方法についてはかなり時間がかかったが、こんなアイデアが出てきた。
「ねえねえ、対数の世界では、掛け算が足し算になるよね」
「うんうん」
「それを使って、足し算を作れないかな？」
彼が言っているのはこういうことだ。
例えば「Ａ＋Ｂ」を作りたければ、まずは「eのA乗」と「eのB乗」を作って、掛けてしまえば良い。そこに対数をつければ「Ａ＋Ｂ」の出来上がりだ。
「でも、掛け算は禁止されてるじゃん」
「いやいや、掛け算を無理やり作る方法は、さっき既に考えたじゃないか」
「あ・・・そうか！」
そういえばそうだった。先程私たちは、掛け算の作り方を既に発明していたのである。
つまり、Ａ＋Ｂを作りたければ、
・まず「eのA乗」と「eのB乗」を作る
・これらの掛け算を、面倒だが例のやり方で作る
・その対数をとる
という手順を踏むこととなる。
何とも迂遠な方法だが、こうするしかあるまい。
できた。
２の累乗は既に作り終えているわけだから、後は２進法を使えば全ての自然数が作れる。
一同、達成感とともにこの遊びを終えたのだった。
「じゃあ、例えば２０２４を作ってみてよ」
などと安易に言わないでほしい。とんでもない労力になるのだから。
ちなみに、０は作れるのか？
作れます。
sin π＝０
変な話ですみません。
理系が集まるとこういう遊びでついつい盛り上がってしまいます。
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