ご覧いただいて有難うございます。

解説している問題と解答解説のPDFは、以下において無料でダウンロード・プリントアウト可能です。問題文は動画の中で字幕などで表示しません。鑑賞するだけではなく、実力を付けて高める意味でも、ぜひプリントアウトし、ご自身で解いた上で動画をご覧頂くことをオススメします。（ある一定以上の数学力を付けるには、自分の頭を動かすことと、自分で手を動かすことが欠かせません）

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このチャンネルでは、大学入試で出題される数学の問題をテーマ別に整理して、有機的・体系的に取り上げ、解説していきたいと思います。古典的な良問から最新の入試問題まで、 　　
　「演習価値の高い問題を、学習効果が高い解法で解説すること」
を目標にしています。 今回は、「総合問題」の動画番号【0053】です。

※参考 （本動画のシリーズ「ベクトルの等式から図形量を求める問題」一覧）

①【総合問題　動画番号0043】 　
　　京都大学 1992 文系・理系 共通 　　

②【総合問題　動画番号0044】 　
　　東京都立大学 2023 後期・理系 

③【総合問題　動画番号0045】 　
　　京都大学 2006 後期・文系 

④【総合問題　動画番号0046】 　
　　広島大学 2008 後期・理学部数学科　

⑤【総合問題　動画番号0046】 　
　　広島大学 2008 後期・理学部数学科 　

＊＊＊以下、ネタバレ注意＊＊＊

空間内の四面体OABCと空間内の点Pの位置関係の情報が１つのベクトルの等式で与えられています。その情報（仮定）から、Pを頂点の１つにもつ３つの四面体の体積比という図形的な結論を引き出すことを目標とする問題です。

この問題ではPの位置がベクトルの等式（仮定）が与えられていますから、ベクトルを用いた解法を考えるのは自然な流れですね。図形の特徴を捉える、ということは、内積を利用して、辺の長さや角度の大きさを計算するかがポイントになることもありますが、今回の最終ゴールは「体積”比”」ですから、Pの位置を正確にとらえ、何を比べることで「体積”比”」を計算するか、を見極めることがキーポイントになります。

四面体の体積の計算の鍵は、「底面積」と「高さ」の２点であり、今回は、「高さ」を共有する四面体の体積比を求めることがわかりますから、「底面積"比"」を計算すれば、「体積”比”」を得ることがわかります。従って、本問題の結論部分の核心は、平面ベクトルの表示をうまく利用することにあるといえます。

なお、Pの位置さえうまくとらえることができれば、「底面積の比」の論証は、ベクトルを持ち出すまでもなく、「初等幾何」の範囲でもできてしまいます。その初等幾何を用いる方法をまず[解法１]で紹介し、続けてベクトルを用いる解法を[解法２]で紹介しています。（なお、ベクトルを用いてPの位置と面積比をとらえる[解法２]の考え方は、私の運営する別チャンネルの、以下の動画の中の[解法３]でもその方法を解説しています。

※参考 YouTubeチャンネル「高校数学体系」

で作った動画

【動画番号　体系0001】
平面ベクトルの等式と三角形の面積比の証明（有名・頻出問題）

この動画の中の[解法３]を参照してください。

【動画番号　体系0001】で証明した定理を空間図形の場合に拡張して証明すると、

【動画番号　体系0002】
空間ベクトルの等式と四面体の体積比の証明

となります。

難易度は、「標準」レベルの問題かと思います。ぜひ、ご自分の「答案」を作成して視聴いただけたら嬉しいです。

動画の感想、新たな気づきなどをコメント頂けると嬉しいです。 （誤りの指摘、批判的なコメントも含めて歓迎します）

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