と訊いてみます。

「途中計算を詳しく」と加えると、さらに詳しく書いてくれます。

ChatGPTの出力をそのまま貼り付けます。

以下、ChatGPTの回答が続きます。

┈┈┈┈┈┈┈ 以下ChatGPT┈┈┈┈┈┈┈┈

井戸型ポテンシャルを持つ1次元のシュレディンガー方程式は以下のように表されます。

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)
$$

ここで、$m$は粒子の質量、$V(x)$は位置$x$でのポテンシャル、$E$は粒子の全エネルギー、$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割った値です。

井戸型ポテンシャルは、$x=0$と$x=a$で端が閉じた箱のようなポテンシャルであり、$V(x)$は以下のように表されます。

$$
V(x) = \begin{cases}
0 & (0<x<a) \\
\infty & (x<0\ \text{or}\ x>a)
\end{cases}
$$

このポテンシャルの下でのシュレディンガー方程式の解は、以下のような式で表されます。

$$
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)
$$

ここで、$n$は正の整数であり、$\psi_n(x)$は$n$番目のエネルギー固有状態に対応する波動関数を表します。また、固有エネルギー$E_n$は以下のように表されます。

$$
E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}
$$

以上の式を用いることで、井戸型ポテンシャルでのシュレディンガー方程式の解を求めることができます。

┈┈┈┈┈┈┈ ここまでChatGPT┈┈┈┈┈┈┈┈

┈┈┈┈┈┈┈ 以下ChatGPT┈┈┈┈┈┈┈┈

井戸型ポテンシャルでのシュレディンガー方程式を解くプロセスを以下に示します。

まず、井戸型ポテンシャル下でのシュレディンガー方程式を以下のように表します。

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)
$$

ここで、$m$は粒子の質量、$V(x)$は位置$x$でのポテンシャル、$E$は粒子の全エネルギー、$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割った値です。井戸型ポテンシャルの場合、$V(x)$は以下のように表されます。

$$
V(x) = \begin{cases}
0 & (0<x<a)\\
\infty & (x<0\ \text{or}\ x>a)
\end{cases}
$$

ポテンシャルが無限大であるため、波動関数$\psi(x)$は$0<x<a$でのみ有効です。また、端が閉じた箱のようなポテンシャルであるため、波動関数$\psi(x)$は$x=0$および$x=a$で$0$となります。すなわち、以下の境界条件を考慮する必要があります。

$$
\psi(0)=0,\quad \psi(a)=0
$$

この境界条件を満たす解を求めるために、以下のような仮定を行います。

$$
\psi(x) = A\sin(kx)
$$

ここで、$A$は定数であり、$k$は波数であり、$k=\frac{n\pi}{a}$と表されます。また、$n$は正の整数です。これをシュレディンガー方程式に代入すると、以下のようになります。

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\left(A\sin(kx)\right)+V(x)A\sin(kx)=EA\sin(kx)
$$

これを整理すると、以下のようになります。

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}A\sin''(kx)+V(x)A\sin(kx)=EA\sin(kx)
$$

ここで、$\sin''(kx)$は$\sin(kx)$の2階微分を表します。これをさらに整理すると、以下のようになります。

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}A(-k^2)\sin(kx)+V(x)A\sin(kx)=EA\sin(kx)
$$

この式をさらに整理すると、以下のようになります。

$$
\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}+E\right)A\sin(kx)=V(x)A\sin(kx)
$$

ここで、$V(x)$の値は$0$または$\infty$であるため、$V(x)A\sin(kx)$が$0$となるのは$x<0$または$x>a$のときです。すなわち、$0<x<a$の範囲で上式が成立するためには、以下の条件が必要です。

$$
\frac{\hbar^2k^2}{2m}+E=0\quad\text{または}\quad V(x)A=0
$$

ここで、$V(x)A=0$が成立する場合、$A\neq0$であるため、$V(x)=0$でなければなりません。つまり、$E>0$の場合、波動関数$\psi(x)$は$x<0$または$x>a$で発散し、物理的に許容されない解となります。一方、$E<0$の場合、$k$は虚数となり、$A\sin(kx)$は指数関数となります。この場合も物理的に許容されない解となります。したがって、物理的に許容されるエネルギーの値は$E_n=\frac{-n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$であり、対応する波動関数は以下のように表されます。

$$
\psi_n(x)=A\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)
$$

ここで、$n$は正の整数であり、$A$は波動関数を規格化するための定数です。規格化条件は以下のように表されます。

$$
\int_0^a\left|\psi_n(x)\right|^2dx=1
$$

これより、$A=\sqrt{\frac{2}{a}}$となります。以上より、井戸型ポテンシャル下でのシュレディンガー方程式の解は以下のように表されます。

$$
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)
$$

$$
E_n=\frac{-n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}
$$

これらの解は、量子力学において重要な役割を果たします。

┈┈┈┈┈┈┈ ここまでChatGPT┈┈┈┈┈┈┈┈

規格化定数の計算を詳細にLatexで出力。

┈┈┈┈┈┈┈ 以下ChatGPT┈┈┈┈┈┈┈┈

井戸型ポテンシャルの波動関数$\psi_n(x)$の規格化条件は以下のように表されます。

$$
\int_0^a\left|\psi_n(x)\right|^2dx=1
$$

ここで、$\left|\psi_n(x)\right|^2$は$\psi_n(x)$の複素共役と$\psi_n(x)$自身の積であるため、以下のように表せます。

$$
\left|\psi_n(x)\right|^2=\psi_n^*(x)\psi_n(x)
$$

したがって、上式は以下のように書けます。

$$
\int_0^a\psi_n^*(x)\psi_n(x)dx=1
$$

ここで、$\psi_n(x)$は実数の波動関数であるため、$\psi_n^*(x)=\psi_n(x)$です。したがって、上式は以下のように書けます。

$$
\int_0^a\left(\psi_n(x)\right)^2dx=1
$$

これを計算するために、以下の式を用います。

$$
\int_0^a\sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)dx=\frac{a}{2}
$$

この式は、三角関数の性質から導出することができます。

まず、以下の恒等式を用います。

$$
\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}
$$

これを用いると、$\sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)$は以下のように書けます。

$$
\sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)
$$

次に、$\cos\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)$の積分を求めます。部分積分を用いると、以下のようになります。

$$
\int_0^a\cos\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)dx=\left[\frac{a}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)\right]_0^a=0
$$

したがって、$\int_0^a\sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)dx$は以下のように計算できます。

$$
\int_0^a\sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)dx=\int_0^a\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)\right)dx=\frac{a}{2}
$$

これより、$\psi_n(x)$の規格化定数$A$は以下のように計算できます。

$$
A=\sqrt{\frac{2}{a}}
$$

以上より、井戸型ポテンシャル下での波動関数$\psi_n(x)$は以下のように規格化された形で表されます。

$$
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)
$$

ただし、$n$は整数であり、$a$は井戸の幅を表します。

このようにして、井戸型ポテンシャル下での波動関数が求まりました。

┈┈┈┈┈┈┈ ここまでChatGPT┈┈┈┈┈┈┈┈

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